Symbole de Levi-Civita

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Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un objet mathématique antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions (i d'avant en arrière, j de haut en bas et k de gauche à droite).
.

Ainsi ne peut prendre que trois valeurs : –1, 0 ou 1.

Dimension 3[modifier | modifier le code]

En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker est :

Dimension 2[modifier | modifier le code]

En dimension 2, le symbole de Levi-Civita est défini par :

On peut disposer ces valeurs dans une matrice carrée 2×2 comme suit :

Dimension n[modifier | modifier le code]

On peut démontrer que :

est vrai en dimension n.

Interprétation[modifier | modifier le code]

Dans une base orthonormée directe , représente le volume orienté du parallélépipède construit à partir des vecteurs .

D'où une valeur égale à 0 si i = j ou j = k ou k = i.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Levi-Civita symbol » (voir la liste des auteurs).