Représentation de Heisenberg

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En mécanique quantique, la représentation de Heisenberg est une des trois formulations et modes de traitement des problèmes dépendant du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette représentation, les opérateurs du système évoluent avec le temps.

Généralités[modifier | modifier le code]

Le principe de superposition quantique énonce qu'un état est en général une combinaison linéaire d'états propres. Dans cette représentation:

  • Les états sont indépendants du temps, notés dans la notation de Dirac sous forme de kets
  • Les opérateurs sont dépendants du temps.

Cette représentation est à opposer à la représentation de Schrödinger, dans laquelle les operateurs sont indépendants du temps mais opèrent sur des vecteurs d'état qui sont fonction du temps.

La représentation de Heisenberg ne doit pas être confondue avec la « mécanique des matrices », quelquefois appelée « mécanique quantique de Heisenberg ».

Formulation mathématique[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de la représentation de Heisenberg de la mécanique quantique le vecteur d'état est indépendant du temps, on peut la déterminer ainsi :


alors qu'une observable satisfait à l'équation d'évolution :


La similitude avec la physique classique est évidente en remplaçant le commutateur par un crochet de Poisson.

Opérateur d'évolution[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

On considère l'opérateur d'évolution temporelle suivant :


avec


Lien avec la représentation de Schrödinger[modifier | modifier le code]

Soit une observable  :


obéit à l'équation de Schrödinger:

On en déduit que

donc


puisque commute avec .


Représentation :
Heisenberg Interaction Schrödinger
Ket constant
Observable constant
Opérateur d'évolution
Mécanique quantique  : Théorème d'EhrenfestÉquation de SchrödingerPropagateur