Valeur propre (synthèse)

Les notions de vecteur propre, de valeur propre, et de sous-espace propre s'appliquent à des endomorphismes (ou opérateurs linéaires), c'est-à-dire des applications linéaires d'un espace vectoriel dans lui-même. Elles sont intimement liées, et forment un pilier de la réduction des endomorphismes, partie de l'algèbre linéaire qui vise à décomposer de la manière la plus efficace possible l'espace en somme directe de sous-espaces stables.

Définitions et propriétés

Dans toute la suite, on considère un espace vectoriel E, sur un corps commutatif K. Les éléments de E sont les vecteurs et ceux de K sont les scalaires. En pratique, le corps est souvent le corps ℂ des complexes et l'espace vectoriel est de dimension finie. On précisera dans chaque section, les restrictions éventuelles sur le corps ou la dimension. On notera u un endomorphisme de E et Id l'endomorphisme identité.

Valeur propre

Définition — Un scalaire λ est une valeur propre de u s'il existe un vecteur x non nul tel que u(x) = λx.

L'ensemble des valeurs propres de u est donc l'ensemble des scalaires λ tels que u – λId n'est pas injectif (autrement dit son noyau n'est pas réduit au vecteur nul).

Si E est de dimension finie n, l'ensemble des valeurs propres de u :

• a au plus n éléments et
• coïncide avec le spectre de u (l'ensemble des valeurs spectrales).

Exemples :

• si u = Id alors u ne possède qu'une valeur propre : 1.
• si u est défini sur ℝ² par $u(x_{1},x_{2})=(x_{1}+6x_{2},x_{1}+2x_{2})$ alors u possède deux valeurs propres :
  • 4 car $u(2,1)=(8,4)=4(2,1)$
  • –1 car $u(-3,1)=(3,-1)=-1(-3,1)$
  • pas d'autre valeur propre puisque la dimension est 2.

On parle aussi de valeur propre d'une matrice carrée. En effet, une matrice carrée de taille n est la représentation d'un endomorphisme de Kⁿ, relativement à une base.

Valeurs propre d'une matrice

Les valeurs propres λ et le vecteur propre v d'une matrice A respectent

$Av-\lambda v=0,$

ou, en mettant en évidence v,

$(A-\lambda I)v,$

avec I la matrice identité n x n. On trouve les valeurs propres en résolvant l'équation

$det(A-\lambda I)=0.$

Vecteur propre

Définition — Soit x un vecteur non nul de E, x est un vecteur propre de u s'il existe un scalaire λ tel que u(x) = λx. On dit que x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ.

• Un vecteur propre ne peut pas être associé à deux valeurs propres différentes
• Une famille de k vecteurs propres associés à k valeurs propres différentes constitue une famille libre.

Dans le cas d'une valeur propre associée à une matrice carrée, on emploie souvent le terme de « colonne propre » plutôt que celui de vecteur propre.^{[réf. souhaitée]}

Sous-espaces propres

Définition — Soit λ une valeur propre de u ; alors l'ensemble constitué des vecteurs propres de valeur propre λ, et du vecteur nul, est appelé le sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ.

• Le sous-espace propre associé à une valeur propre λ est le noyau de u – λId. C'est donc un sous-espace vectoriel.
• Par définition d'une valeur propre, un sous-espace propre n'est jamais réduit au vecteur nul.
• Les espaces propres E_i de valeurs propres λ_i forment une somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u.
  C'est une conséquence du lemme des noyaux, appliqué aux polynômes X – λ_i, qui sont deux à deux premiers entre eux.
  Cette somme directe des E_i est égale à E si et seulement si l'endomorphisme est diagonalisable.
• Si deux endomorphismes u et v commutent, alors tout sous-espace propre de u est stable par v.

Polynôme caractéristique

On suppose ici que E est de dimension finie n.

On appelle « polynôme caractéristique » de l'endomorphisme u, le polynôme det(XId – u).

• Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres de u.
  En effet, un endomorphisme est de déterminant nul si et seulement s'il est non injectif.
• Soit a un automorphisme, c'est-à-dire un endomorphisme bijectif, alors u et aua⁻¹ ont même polynôme caractéristique et donc mêmes valeurs propres.
  En effet,$\det(\lambda {\rm {Id}}-aua^{-1})=\det(a(\lambda {\rm {Id}}-u)a^{-1})=\det(\lambda {\rm {Id}}-u).$
• Si K est algébriquement clos ou s'il est égal au corps des nombres réels et que n est impaire, alors u possède au moins une valeur propre.
  Dire qu'un corps est algébriquement clos, c'est dire que tout polynôme non constant admet au moins une racine. Cette racine est nécessairement une valeur propre, d'après le premier point ci-dessus. D'autre part, un polynôme réel de degré impair a toujours une racine réelle.

L'ordre de multiplicité algébrique d'une valeur propre est l'ordre de multiplicité de la racine dans le polynôme caractéristique. C'est donc l'exposant de (X – λ) dans le polynôme caractéristique.

• Dans un corps algébriquement clos :
  • Le déterminant est égal au produit des valeurs propres élevées à leur ordre de multiplicité algébrique ;
  • La trace est égale à la somme des valeurs propres multipliées par leur ordre de multiplicité algébrique.

Polynôme minimal

On se place ici dans le cadre d'un espace vectoriel E de dimension finie.

On appelle « polynôme minimal » de u le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule u. Le polynôme minimal donne une relation de dépendance linéaire sur les puissances u⁰, u¹, u², …, de l'endomorphisme, et réciproquement une telle relation de dépendance linéaire fournit un polynôme annulateur de u, le polynôme minimal en minimisant le degré et en prenant le coefficient 1 pour la plus grande puissance de u qui intervient.

• Les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres de u.

Si le polynôme minimal se factorise M = (X – λ)Q, alors M(u) = (u – λId)∘Q(u) est l'endomorphisme nul, alors que Q(u) ne l'est pas (car le degré de Q est trop bas). Par conséquent il existe des vecteurs non nuls dans l'image de Q(u), qui sont des vecteurs propres pour λ.

• Plus généralement pour tout entier i ≥ 1, le polynôme minimal est divisible par (X – λ)ⁱ si et seulement si le noyau de (u – λId)ⁱ est strictement plus grand que celui de (u – λId)^i–1. Par conséquent, la multiplicité m de λ comme racine du polynôme minimal est égale au plus petit exposant tel que le noyau de (u – λId)^m soit égal au sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ. Cette multiplicité ne porte pas de nom : ce n'est ni la multiplicité géométrique, ni la multiplicité algébrique de la valeur propre λ.

• Soit a un automorphisme de E, alors u et aua⁻¹ ont même polynôme minimal (et donc mêmes valeurs propres). Autrement dit le polynôme minimal est un invariant de similitude de l'endomorphisme.
  En effet, P(aua⁻¹) est égal à aP(u)a⁻¹, pour tout polynôme P.
• Sur un corps algébriquement clos, le polynôme minimal (comme tout polynôme non nul) est scindé, et possède donc au moins une racine, qui est valeur propre de u (exception : si la dimension de E est nulle, le polynôme minimal est 1, tout comme le polynôme caractéristique, et u n'a pas de valeur propre).
• Le théorème de Cayley-Hamilton permet d'affirmer que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique

Sous-espaces caractéristiques

On suppose que E est de dimension finie et que K est algébriquement clos.

Si λ est une valeur propre de u, dont l'ordre de multiplicité est α_λ, on appelle « sous-espace caractéristique » de u associé à la valeur propre λ le noyau de (u – λId)^α_λ. On notera ce sous-espace caractéristique E_λ.

• E_λ est aussi le noyau de (u – λId)^β_λ où β_λ est l'ordre de multiplicité de λ dans le polynôme minimal.
• E_λ est stable par u.
• dim(E_λ) = α_λ.
• L'espace E est somme directe de ses sous-espaces caractéristiques.
• la restriction de u à E_λ a pour polynôme minimal (X – λ)^β_λ.

Réduction d'endomorphisme

On suppose que E est de dimension finie. L'étude des valeurs propres permet de trouver une forme plus simple des endomorphismes, c'est ce qu'on appelle leur réduction.

Diagonalisation

L'endomorphisme est entièrement déterminé par ses vecteurs propres et ses valeurs propres associées s'il est diagonalisable, c'est-à-dire s'il existe une base de vecteurs propres. Des exemples numériques sont donnés dans l'article Matrice diagonalisable. Les critères suivants sont tous des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un endomorphisme soit diagonalisable :

• Il existe une base de vecteurs propres
• la somme des espaces propres est l'espace entier
• la somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de l'espace entier
• le polynôme minimal est scindé sur K et à racines simples. (Démonstration dans Polynôme d'endomorphisme.)
• tout sous-espace propre possède une dimension égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée.
• toute représentation matricielle M de u est diagonalisable, c'est-à-dire peut s'écrire sous la forme M = PDP⁻¹ avec P et D matrices respectivement inversible et diagonale.

À ces propriétés équivalentes s'ajoutent les implications suivantes :

• S'il existe dim(E) valeurs propres distinctes, alors u est diagonalisable.
• Si u est diagonalisable, alors son polynôme caractéristique est scindé.

Dans le cas où le corps est ℂ, cette propriété est presque partout vraie au sens de la mesure de Lebesgue. Au sens de la topologie, l'ensemble des endomorphismes diagonalisables est dense.

Décomposition de Dunford

Si le polynôme minimal de u est scindé, alors u peut s'écrire sous la forme u = d + n avec d diagonalisable et n nilpotent tels que dn = nd. De plus, d et n sont des polynômes en u.

Représentation de Jordan

On suppose que K est algébriquement clos.

La représentation de Jordan prouve qu'alors, tout endomorphisme u de E est trigonalisable. Elle démontre que la restriction de u au sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ possède une représentation formée de blocs de la forme

$J_{k}(\lambda )={\begin{pmatrix}\lambda &1&&&&\\&\lambda &1&&(0)&\\&&\ddots &\ddots &&\\&&&\ddots &\ddots &\\&(0)&&&\lambda &1\\&&&&&\lambda \\\end{pmatrix}}$

appelés « blocs de Jordan » et que l'endomorphisme possède une représentation matricielle sous la forme

${\begin{pmatrix}J_{k_{1}}(\lambda _{1})&&&&\\&J_{k_{2}}(\lambda _{2})&&&\\&&\ddots &&\\&&&\ddots &\\&&&&J_{k_{r}}(\lambda _{r})\\\end{pmatrix}}$

où les scalaires λ_i (non nécessairement distincts) sont les valeurs propres de u.

Voir aussi

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Article connexe

Théorème de Gerschgorin

Bibliographie

• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• Walter Rudin, Analyse fonctionnelle [détail des éditions]
• (en) Nelson Dunford et Jacob T. SchwartzJacob T. Schwartz, Linear Operators, Part I General Theory, Wiley-Interscience, 1988