Union (mathématiques)

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Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion[1] est une opération ensembliste de base. En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique ou inclusif.

L'union des ensembles A et B

Union de deux ensembles[modifier | modifier le code]

L'union de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On la note AB.

Formellement :

\forall x,\quad x\in A \cup B \Leftrightarrow\left((x \in A) \lor (x \in B)\right).

Par exemple l'union des ensembles A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4} est l'ensemble {1, 2, 3, 4}.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

  • L'union est associative, i.e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
    (AB) ∪ C = A ∪ (BC)
  • L'union est commutative, i.e. pour des ensembles A et B quelconques, on a :
    AB = BA
  • L'intersection est distributive sur l'union, i.e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
    A ∩ (BC) = (AB) ∪ (AC)

Union d'une famille d'ensembles[modifier | modifier le code]

On généralise ce concept à une famille d'ensembles (Ei)iI (non nécessairement réduite à deux ensembles, ni même finie). La réunion des Ei, notée ∪iI Ei, est l'ensemble des éléments x pour lesquels il existe un iI tel que xEi (si I est l'ensemble vide, cette réunion est donc vide).

Formellement :

\forall x,\quad x\in\cup_{i\in I}E_i\Leftrightarrow(\exists i\in I,x\in E_i).

C'est bien un ensemble parce que la classe {Ei | iI} est un ensemble, et donc l'est aussi la réunion de tous les éléments de cette classe, d'après l'axiome de la réunion[2].

La distributivité ci-dessus s'étend aux familles : A\cap(\cup_{i\in I}E_i)=\cup_{i\in I}(A\cap E_i).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dans ce contexte, ces deux mots sont synonymes (cf. portail lexical du CNRTL). Ils sont utilisés indifféremment, parfois dans un même ouvrage, comme S. Balac et L. Chupin, Analyse et algèbre, PPUR,‎ 2008 (ISBN 978-2-88074782-4, lire en ligne).
  2. René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], p. 124 de l'édition de 1993.

Articles connexes[modifier | modifier le code]