Nombre triangulaire centré

Un nombre triangulaire centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un triangle équilatéral avec un point placé en son centre et tous ses autres points disposés en couches triangulaires autour de ce centre.

Représentation du 4-ième nombre triangulaire centré

Les quatre plus petits nombres triangulaires centrés sont : $C_{3,1}={\color {red}1},$ $C_{3,2}=1+{\color {orange}3}=4,$ $C_{3,3}=4+{\color {green}6}=10,$ $C_{3,4}=10+{\color {blue}9}=19.$

Le 4-ième nombre triangulaire centré est donc 1 + 3 fois le 3-ième nombre triangulaire régulier : ${\begin{aligned}C_{3,4}&={\color {red}1}+{\color {orange}3}+{\color {green}6}+{\color {blue}9}\\&={\color {red}1}+3{\text{×}}{\color {orange}1}+3{\text{×}}{\color {green}2}+3{\text{×}}{\color {blue}3}\\&={\color {red}1}+3{\text{×}}({\color {orange}1}+{\color {green}2}+{\color {blue}3})\\&={\color {red}1}+3{\text{×}}T_{3}\\&={\color {red}1}+3{\text{×}}6\\&=19.\end{aligned}}$

Gnomon, relation de récurrence

Pour tout entier n ≥ 2, la n-ième couche triangulaire équilatérale comporte 3(n – 1) points ; ce nombre est parfois appelé le n-ième gnomon. Alors : $\forall ~n\geq 2,~C_{3,n}=C_{3,n-1}+3(n-1).$ Ainsi, le n-ième triangle centré comporte n points sur chaque côté.

Relations avec les nombres triangulaires réguliers

Pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre triangulaire centré est donc 1 + 3 fois la somme des entiers de 1 à n – 1 ; en fait : $\forall ~n\geq 1,~C_{3,n}=1+3{\text{×}}T_{n-1}=1+{3n(n-1) \over 2}={3n^{2}-3n+2 \over 2},$

où T_n–1 = n(n – 1)/2 est le (n – 1)-ième nombre triangulaire régulier, en particulier : T₀ = 0.

Conséquence :
Tout nombre triangulaire centré supérieur ou égal à 4 est la somme de trois nombres triangulaires réguliers consécutifs : $\forall ~n\geq 2,~C_{3,n}=T_{n-2}+T_{n-1}+T_{n}.$ (Le cas C_3,2 = T₀ + T₁ + T₂ = 0 + 1 + 3 = 4 est trivial.)

Listes de nombres triangulaires centrés

Les nombres triangulaires centrés inférieurs à 150 sont : 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136 (voir la suite A005448 de l'OEIS).

Les nombres à la fois triangulaires centrés et triangulaires réguliers inférieurs à 10⁹ sont : C_3;1 = 1 = T₁ ; C_3;3 = 10 = T₄ ; C_3;10 = 136 = T₁₆ ; C_3;36 = 1 891 = T₆₁ ; C_3;133 = 26 335 = T₂₂₉ ; C_3;495 = 366 796 = T₈₅₆ ; C_3;1 846 = 5 108 806 = T_3 196 ; 71 156 485 ; 991 081 981 (voir la suite A128862 de l'OEIS).

Attention :
Un nombre triangulaire régulier ayant un indice de la forme 1 + 3k (où k est un entier naturel) a un point au centre de sa représentation, mais n'est pas nécessairement triangulaire centré.
Exemples : T₇ = 28, T₁₀ = 55, T₁₃ = 91.

Les nombres à la fois triangulaires centrés et premiers inférieurs à 2000 sont : 19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999 (voir la suite A125602 de l'OEIS).

Somme de nombres triangulaires centrés

Pour tout entier n ≥ 1, la somme des n plus petits nombres triangulaires centrés est : $C_{3,1}+~...~+~C_{3,n}={n(n^{2}+1) \over 2}.$ Si n ≠ 2, cette somme est la constante magique de tout carré magique normal d'ordre n.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered triangular number » (voir la liste des auteurs).