Nombre triangulaire centré

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Un nombre triangulaire centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un triangle avec un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre. Le nombre triangulaire centré de rang n est égal à

{3n^2 + 3n + 2} \over 2

L'image ci-dessous montre la construction des nombres triangulaires centrés : la figure précédente en rouge est à chaque étape entourée d'un nouveau triangle de points bleus.

Construct-nombres-tri-centres.png

Les premiers nombres triangulaires centrés sont

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971

Tout nombre triangulaire centré supérieur à 10 est la somme de trois nombres triangulaires réguliers consécutifs. En outre, le reste de la division euclidienne par trois d'un nombre triangulaire centré est égal à un, et le quotient (quand il est strictement positif) est le nombre triangulaire régulier précédent.

La somme des n premiers nombres triangulaires centrés est égale à la constante magique d'un carré magique de n par n (à condition que n > 2).