Nombre triangulaire centré

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Les quatre premiers nombres triangulaires centrés sont
1,
1 + 3 = 4,
4 + 6 = 10 et
10 + 9 = 19.

Un nombre triangulaire centré est un nombre figuré qui peut être représenté par un triangle avec un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre. Pour tout entier naturel n non nul, le n-ième nombre triangulaire centré est donc égal à 1 + 3 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire régulier :

C_{3,n}=1+3T_{n-1}=1+3\,\frac{n(n-1)}2={3n^2-3n+2\over2}.

L'image ci-contre montre la construction des nombres triangulaires centrés : à chaque étape, la figure est entourée d'un nouveau triangle de couleur différente.

Ils forment la suite d'entiers A005448 de l'OEIS[1] : 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109 et 136etc.

La sous-suite de ceux qui sont premiers est 19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, etc. (suite A125602 de l'OEIS).

Tout nombre triangulaire centré supérieur ou égal à 10 est la somme de trois nombres triangulaires réguliers consécutifs : \forall n\ge3\quad C_{3,n}=T_{n-2}+T_{n-1}+T_n. Pour tout n ≥ 1, la somme des n premiers nombres triangulaires centrés est égale à n(n2 + 1)/2. Si n ≠ 2, ce nombre est la constante magique de tout carré magique normal d'ordre n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered triangular number » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour les 1 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A005448 de l'OEIS.