Nilpotent

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En mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) est dit nilpotent s'il existe un entier n > 0 tel que xn = 0

Exemples[modifier | modifier le code]

Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice

A = \begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end{pmatrix}

est nilpotente parce que A3 = 0. On parle alors de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent.

Dans l'anneau ℤ/9ℤ, la classe de 3 est nilpotente parce que 32 est congru à 0 modulo 9.

L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Aucun élément nilpotent ne peut être une unité (excepté dans l'anneau trivial {0} qui possède seulement un élément 0 = 1). Tous les éléments nilpotents non nuls sont des diviseurs de zéro.

Une matrice carrée A d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est Xn, ce qui est le cas si et seulement si An = 0.

Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal, qui est le nilradical de l'anneau.

Si x est nilpotent, alors 1 – x est une unité, parce que xn = 0 entraîne (1 – x)(1 + x + x2 + … + xn – 1) = 1 – xn = 1.

Anneau réduit[modifier | modifier le code]

Un anneau sans élément nilpotent autre que 0 est dit réduit ; cette notion est importante en géométrie algébrique. L'anneau quotient d'un anneau commutatif par son nilradical est un anneau réduit.

En physique[modifier | modifier le code]

Un opérateur Q qui satisfait à Q2 = 0 est nilpotent. La charge BRST (en) est un exemple important en physique.


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nilpotent » (voir la liste des auteurs)