Quaternions de Hurwitz

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Les quaternions de Hurwitz portent ce nom en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

Définition[modifier | modifier le code]

Quaternions[modifier | modifier le code]

Soit A un anneau. On definit l'algèbre de quaternions ℍ(A) comme l'algèbre A[ℍ] du groupe ℍ des quaternions. Plus explicitement, c'est le A-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

  • 1 élément neutre pour la multiplication,
  • {\rm i}^2={\rm j}^2={\rm k}^2=-1
  • et les identités :
    • {\rm i}={\rm j~k}=-{\rm k~j},
    • {\rm j}={\rm k~i}=-{\rm i~k},
    • {\rm k}={\rm i~j}=-{\rm j~i}.

Quaternions de Hurwitz[modifier | modifier le code]

Soit \mathbb{H}(\Z), l'algèbre des quaternions sur l'anneau ℤ des entiers. On définit les quaternions de Hurwitz — aussi appelés entiers de Hurwitz — \widetilde \mathbb{H}(\Z) comme suit :

\widetilde \mathbb{H}(\Z)=\mathbb{H}(\Z)\cup\left(\frac{\rm 1+i+j+k}2+\mathbb{H}(\Z)\right).

Ils forment un ordre maximal dans l'algèbre des quaternions sur ℚ.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les quaternions de Hurwitz forment un anneau unitaire, intègre mais non commutatif.

Le carré ║a2 de la norme d'un entier de Hurwitz a est un entier naturel. Si ║a2 est un nombre premier, alors a est un élément irréductible de l'anneau.

Il existe 24 entiers de Hurwitz de norme 1 : 8 formés par ±1, ±i, ±j, ±k et 16 formés par (±1 ± i ± j ± k)/2.

Tout élément a de l'anneau est associé (à gauche ou à droite, au choix) à (au moins) un élément à composantes entières, c'est-à-dire que a est le produit d'un tel élément par l'un de ces 24 élements de norme 1. En effet, si les quatre composantes de a sont des demi-entiers, il existe ω de la forme (±1 ± i ± j ± k)/2 tel que les composantes de aω soient des entiers pairs, et celles de ωa = ω(aω) + 1 sont alors entières.

Un anneau commutatif intègre A est dit euclidien s'il est muni d'un « préstathme euclidien », c'est-à-dire d'une application v de A dans ℕ vérifiant que pour deux éléments non nuls quelconques a, b de A tels que b ne divise pas a, il existe des éléments q, r de A tels que a = qb + r et v(r) < v(b), et cette définition se latéralise pour des anneaux non commutatifs[1]. En ce sens, l'anneau des entiers de Hurwitz est euclidien à gauche et à droite avec, comme préstathme, la norme. Autrement dit, pour la division euclidienne à gauche : si a et b sont des entiers de Hurwitz, avec b non nul, il existe au moins un couple (q, r) d'entiers de Hurwitz tel que a = qb + r avec ║r║ < ║b║. En effet, il suffit de poser r = a – qb après avoir choisi pour q un entier de Hurwitz tel que ║ab−1q║ < 1, or un tel q existe toujours[2].

Il en résulte que :

On a bien sûr les analogues en échangeant gauche et droite, par un raisonnement identique ou par conjugaison.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) H. H. Brungs, « Left Euclidean rings », Pacific J. Math., vol. 45, no 1,‎ 1973 (lire en ligne).
  2. a et b (en) John Stillwell, Elements of Number Theory, Springer,‎ 2003 (lire en ligne), chap. 8.