Formule de Mollweide

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}},

où (cf. figure ci-contre) $a$ , $b$ et $c$ désignent les longueurs des côtés d'un triangle ABC et $α$ , $β$ et $γ$ les mesures des angles opposés.

La loi des tangentes en est un corollaire immédiat, compte tenu du fait que $γ / 2$ est complémentaire de $α + β / 2$ (donc le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre).

Démonstration[modifier | modifier le code]

On utilise la loi des sinus, puis une formule de Simpson au numérateur et une formule de l'angle double au dénominateur :

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{2\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}},

ce qui prouve la première formule. La seconde se démontre de même.

↑ (en) Ernest J. Wilczynski, Plane Trigonometry and Applications, Allyn & Bacon, 1914, p. 102.
↑ (en) Michael Sullivan, Trigonometry, Dellen Publishing Company, 1988, p. 243.