Loi des sinus

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.

On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

  • a = BC et α = angle formé par [AB] et [AC] ;
  • b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
  • c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

La formule dite des sinus est alors :

\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} ,

On a même mieux :

\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R,

R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron.

La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :

\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma


Le théorème peut être utilisé

  • pour déterminer le rayon du cercle circonscrit
    \,R = \frac{a}{2\sin\alpha}
  • pour résoudre un triangle dont on connaît deux angles et un côté.


Démonstrations[modifier | modifier le code]

En exprimant une hauteur de deux manières[modifier | modifier le code]

Law of sines proof.svg

On considère un triangle de côtés a, b, et c, et α, β, γ ses angles aux sommets A, B, et C. La hauteur issue de C divise le triangle ABC en deux triangles rectangles. Notons h cette hauteur ; on peut appliquer la définition du sinus dans les deux petits triangles rectangles pour exprimer h :

\sin \alpha = \frac{h}{b}\text{ et } \sin \beta = \frac{h}{a}.

Dont on tire deux expressions pour h :

h = b \sin \alpha = a\sin \beta \,

et donc :

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}.

En faisant de même avec la hauteur issue de A on obtient :

\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.

Par le calcul de l'aire du triangle[modifier | modifier le code]

L'aire S du triangle peut se calculer en choisissant le côté AB=c comme base et h comme hauteur et on obtient alors:

S = \frac{c\times h}{2}= \frac{c\times b\sin \alpha}{2}=\frac{1}{2}bc \sin \alpha \,.

Ainsi l'aire S du triangle peut être exprimée de l'une de ces trois façons selon le côté que l'on choisit comme base:

S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha = \frac{1}{2}ac \sin \beta = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\,.

En multipliant par 2/abc on obtient:

\frac{2S}{abc} = \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}\,.

Finalement en prenant l'inverse on obtient bien la relation énoncée

\,\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = \frac{abc}{2 S} \,.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Law of sines » (voir la liste des auteurs)