Théorème des accroissements finis

Il existe un point c où la pente de la tangente est la pente moyenne

En analyse, le théorème des accroissements finis est à la fois une généralisation et un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction continue et dérivable d'une variable réelle, son accroissement entre deux valeurs est réalisable comme pente d'une de ses tangentes.

Énoncé

Pour toute fonction réelle d'une variable réelle f : [a, b] → ℝ (a et b réels tels que a < b), supposée continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, il existe un réel c strictement compris entre a et b vérifiant :

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute sécante d'une courbe différentiable, il existe une tangente parallèle à la sécante.

Pour donner une image, on peut illustrer ainsi le théorème : « Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de 60km/h, alors son compteur (censé indiquer avec une précision infinie la vitesse instantanée) a indiqué au moins une fois la vitesse précise de 60 km/h. »

Démonstration

Sous les hypothèses de l'énoncé, la fonction $x \mapsto f(x)- {f(b)-f(a) \over b-a} \times (x-a)$ prend la même valeur en a et en b (la valeur f(a)). En lui appliquant le théorème de Rolle, elle admet un point critique c strictement entre a et b. En ce point c, l'annulation de la dérivée implique l'égalité ci-dessus.

Théorème des accroissements finis généralisé

Ce théorème s'applique dans le cas de deux fonctions continues sur [a,b] , dérivables sur ]a, b[. Il assure qu'il existe un réel c de l'intervalle ]a, b[ tel que $(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0.$

Géométriquement, cette égalité signifie que toute courbe représentative d'une fonction de $\R$ dans $\R{}^2$ différentiable possède une tangente parallèle à l'une quelconque de ses cordes. Dans le cas où g' ne s'annule pas sur ]a, b[ , l'égalité peut s'écrire $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.$ Sous cette forme, le théorème est appelé théorème de la moyenne de Cauchy. Il peut être utilisé pour démontrer la règle de L'Hôpital.

Démonstration :

On applique le théorème de Rolle à la fonction

$h(t) = (f(b) - f(a))(g(t) - g(b)) - (g(b) - g(a))(f(t) - f(b))\,$

La fonction h est bien continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et s'annule en a et b par conséquent h(a) = h(b). Donc il existe un réel c de ]a, b[ tel que h'(c) = 0, ce qui donne

$(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0.$

Si de plus g' ne s'annule pas sur ]a, b[, par contraposée du théorème de Rolle, on peut affirmer que g(b) ≠ g(a) et il suffit de diviser par ces deux quantités pour obtenir

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.$

Remarque. Si a = –∞ ou b = +∞ et si f et g sont dérivables sur ]a, b[ et possèdent en a et b des limites finies, notées f(a), f(b), g(a) et g(b), on obtient par la même méthode (en remplaçant le théorème de Rolle par une généralisation adaptée) une conclusion identique.

Inégalité des accroissements finis

Soit f : [a, b] → ℝ (avec a et b réels tels que a < b). Si :

• f est continue sur l'intervalle fermé [a, b]
• f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[
• k est un réel tel que, pour tout élément x de ]a, b[, |f'(x)| ≤ k,

alors $\left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right| \le k.$

Propriété que l'on peut illustrer par : « Si la vitesse instantanée d'un véhicule ne peut pas dépasser 120 km/h, alors sa vitesse moyenne non plus. »

Démonstration : on applique le théorème des accroissements finis et on majore |f'(c)| par k.

Il existe de même une « inégalité des accroissement finis généralisée » :

Soient f et g : [a, b] → ℝ continues sur [a,b] et dérivables sur ]a, b[, avec g' de signe constant. Si J est un intervalle de ℝ tel que, pour tout x de ]a, b[, f'(x) ∈ g'(x)J alors, f(b) – f(a) ∈ (g(b) – g(a))J.

On peut même démontrer directement, sans le théorème des accroissements finis, que cette conclusion reste vraie si la dérivabilité de f et g (et les hypothèses sur f'(x) et g'(x)) ne sont vérifiées que sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable :

Démonstration

Notons D l'ensemble dénombrable de l'énoncé.

• Montrons d'abord la version « non généralisée », qui est le cas particulier g(x) = x.
  • Montrons que si tous les f'(x) (pour x ∉ D) sont strictement positifs alors (f(b) – f(a))/(b – a) l'est aussi. Il suffit pour cela, puisque f est non constante (sans quoi les f'(x) seraient tous nuls), de montrer qu'elle est croissante. On peut même, puisque la situation se transpose ensuite à tout sous-intervalle [a', b'] de [a, b], se contenter de montrer que f(a) ≤ f(b).
    Fixons, dans le complémentaire de f(D), un réel d ≤ f(a) et notons c le plus grand élément du fermé F = {x ∈ [a, b], f(x) ≥ d}. On a donc f(c) ≥ d et pour tout x dans l'intervalle ]c, b], f(x) < d.
    Si cet intervalle était non vide alors, par continuité de f, f(c) serait égal à d donc c n'appartiendrait pas à D et (par stricte positivité de f'(c)), c possèderait un voisinage à droite inclus dans F, ce qui contredirait la maximalité de c. Par conséquent c = b, donc f(b) ≥ d.
    On a donc montré, pour des réels d arbitrairement proches de f(a), que f(b) ≥ d, ce qui prouve bien que f(b) ≥ f(a).
  • Pour montrer que si tous les f'(x) sont strictement supérieurs (resp. inférieurs) à un réel k alors (f(b) – f(a))/(b – a) l'est aussi, il suffit d'appliquer le point précédent à la fonction x ↦ f(x) – kx (resp. kx – f(x)).
  • Pour remplacer dans ces énoncés les inégalités strictes par des larges, il suffit de remarquer que tout intervalle fermé est intersection décroissante d'intervalles ouverts.
  • On en déduit en particulier que si tous les f'(x) sont nuls alors f est constante, donc que si les f'(x) sont tous positifs ou nuls mais non tous nuls alors f(b) > f(a).
• Passons au cas général. On peut supposer que les g'(x) ne sont pas tous nuls (s'ils le sont, la conclusion résulte immédiatement de ce qui précède) et qu'ils sont tous, par exemple, positifs ou nuls (quitte à remplacer si nécessaire g par –g). D'après le point précédent, g est donc croissante et g(b) > g(a). Démontrons le résultat dans les deux cas où l'intervalle J est de la forme [α, +∞[ ou ]α, +∞[ (les cas ]–∞, α] et ]–∞, α[ sont analogues et le cas d'un intervalle borné s'en déduit par intersection).
  • Si J = [α, +∞[ alors, par hypothèse, les f'(x) – α g'(x) sont tous positifs ou nuls donc, d'après le point précédent, f(b) – f(a) – α(g(b) – g(a)) ≥ 0 et la conclusion s'ensuit.
  • Si J = ]α, +∞[ alors, les f'(x) – α g'(x) sont tous positifs ou nuls mais non tous nuls et l'on conclut de même.

Théorème des accroissements finis et intégration

Article détaillé : Théorème de la moyenne.

• Une version intégrale du théorème des accroissements finis est celui de la moyenne :
  Pour toute fonction u à valeurs réelles, continue sur un segment [a, b] avec a < b, il existe un réel c de ]a, b[ tel que $u(c)=\frac1{b-a}\int_a^b u(x)~\mathrm dx.$
• L'analogue intégral du théorème des accroissements finis généralisé est un théorème de la moyenne généralisé :
  Pour toutes fonctions u et v à valeurs réelles, continues sur un segment [a, b] avec a < b, v gardant un signe constant sur [a, b], il existe un réel c de ]a, b[ tel que $u(c)\int_a^b v(x)~\mathrm dx=\int_a^b u(x)v(x)~\mathrm dx.$

Fonction d'une variable vectorielle

Soient $\Omega$ un ouvert d'un espace vectoriel normé E (par exemple E = ℝⁿ), $f:\Omega\to\R$ une fonction différentiable, $x$ un point de $\Omega$ et $h$ un vecteur non nul de E tel que $[x,x+h]\subset\Omega$, alors il existe $\xi\in]x,x+h[$ tel que

$f(x+h)-f(x)=D_\xi f(h),$

par simple application du théorème des accroissement finis à la fonction composée $[0,1]\to\R, t\mapsto f(x+th).$

Fonction à valeurs vectorielles

Pour une telle fonction, il n'existe pas d'analogue du théorème (avec égalité) des accroissements finis, ni même de son cas particulier qu'est le théorème de Rolle (cf. § Remarques de l'article sur ce théorème).

Il existe cependant une inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles.

À défaut, lorsque l'espace d'arrivée de f est ℝⁿ, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à chacune des composantes réelles f_k de la fonction f = (f₁, … , f_n), mais les c_k que l'on construit ainsi (ou les ξ_k comme ci-dessus si la variable est vectorielle) n'ont aucune raison d'être égaux.

Application en cinématique

En cinématique, pour déterminer l'orientation de la tangente, on utilise la corde
il s'écoule 0,04 s entre le relevé de deux points.

En cinématique, le vecteur vitesse d'un point d'un mobile est tangent à la trajectoire de ce point. À partir d'un enregistrement du mouvement (succession de positions relevées à intervalle de temps constant), on peut déterminer la direction du vecteur vitesse au point i en considérant la corde (M_i-1M_i+1).

En effet, sur un petit intervalle, la pente de la tangente varie peu, donc on estime que la valeur en M_i vérifie le théorème des accroissements finis.