Théorème des accroissements finis

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Il existe un point c où la pente de la tangente est la pente moyenne

En analyse, le théorème des accroissements finis est à la fois une généralisation et un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction dérivable d'une variable réelle, son taux d'accroissement entre deux valeurs est réalisable comme pente d'une des tangentes à son graphe.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour toute fonction réelle d'une variable réelle f : [a, b] → ℝ (a et b réels tels que a < b), supposée continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[, il existe (au moins) un réel c dans ]a, b[ vérifiant :

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute sécante d'une courbe différentiable, il existe une tangente parallèle à la sécante.

Pour donner une image, on peut illustrer ainsi le théorème : « Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de 60km/h, alors son compteur (censé indiquer avec une précision infinie la vitesse instantanée) a indiqué au moins une fois la vitesse précise de 60 km/h. »

Démonstration[modifier | modifier le code]

L'idée est de retrancher à f la fonction xrx, où r = (f(b) – f(a))/(b – a) est la pente de la corde. La fonction différence, xf(x) – rx, vérifie en effet toutes les hypothèses du théorème de Rolle (en particulier, f(b) – rb = f(a) – ra, par définition de r). Il existe donc un réel c de ]a, b[ en lequel sa dérivée s'annule, ce qui signifie exactement que f'(c) = r.

Théorème des accroissements finis généralisé[modifier | modifier le code]

Ce théorème s'applique dans le cas de deux fonctions continues sur [a,b] , dérivables sur ]a, b[. Il assure qu'il existe un réel c de l'intervalle ]a, b[ tel que (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0.

Il existe un point de l'arc paramétré où la tangente est parallèle à la corde.

Géométriquement, il signifie que toute courbe représentative d'une fonction différentiable de ℝ dans ℝ2, t ↦ (f(t), g(t)), possède une tangente parallèle à l'une quelconque de ses cordes. Dans le cas où g' ne s'annule pas sur ]a, b[ , l'égalité peut s'écrire \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}. Sous cette forme, le théorème est appelé théorème de la moyenne de Cauchy. Il peut être utilisé pour démontrer la règle de L'Hôpital.

Démonstration :

Généralisant l'idée précédente qui correspondait au cas particulier g(t) = t, on applique le théorème de Rolle à la fonction
h(t)=(g(b)-g(a))f(t)-(f(b)-f(a))g(t).
La fonction h est bien continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, et h(a) = h(b). Il existe donc un réel c de ]a, b[ tel que h'(c) = 0, ce qui donne
(g(b) - g(a))f'(c)=(f(b) - f(a))g'(c).
Si de plus g' ne s'annule pas sur ]a, b[, par contraposée du théorème de Rolle, on peut affirmer que g(b) ≠ g(a) et il suffit de diviser par (g(b) – g(a))g'(c) ces deux quantités pour obtenir
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.

Remarque. Si a = –∞ ou b = +∞ et si f et g sont dérivables sur ]a, b[ et possèdent en a et b des limites finies, notées f(a), f(b), g(a) et g(b), on obtient par la même méthode (en remplaçant le théorème de Rolle par une généralisation adaptée) une conclusion identique.

Inégalité des accroissements finis[modifier | modifier le code]

Soit f : [a, b] → ℝ (avec a et b réels tels que a < b). Si :

  • f est continue sur l'intervalle fermé [a, b]
  • f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[
  • k est un réel tel que, pour tout élément x de ]a, b[, |f'(x)| ≤ k,

alors \left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right| \le k.

Propriété que l'on peut illustrer par : « Si la vitesse instantanée d'un véhicule ne peut pas dépasser 120 km/h, alors sa vitesse moyenne non plus. »

Démonstration : on applique le théorème des accroissements finis et on majore |f'(c)| par k.

Il existe de même une « inégalité des accroissement finis généralisée » :

Soient f et g : [a, b] → ℝ continues sur [a,b] et dérivables sur ]a, b[, avec g' de signe constant. Si J est un intervalle de ℝ tel que, pour tout x de ]a, b[, f'(x) ∈ g'(x)J alors, f(b) – f(a) ∈ (g(b) – g(a))J.

On peut même démontrer directement, sans le théorème des accroissements finis, que cette conclusion reste vraie si la dérivabilité de f et g (et les hypothèses sur f'(x) et g'(x)) ne sont vérifiées que sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable[1],[2] :

Théorème des accroissements finis et intégration[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de la moyenne.
  • Une version intégrale du théorème des accroissements finis est celui de la moyenne :
    Pour toute fonction u à valeurs réelles, continue sur un segment [a, b] avec a < b, il existe un réel c de ]a, b[ tel que
    u(c)=\frac1{b-a}\int_a^b u(x)~\mathrm dx.
  • L'analogue intégral du théorème des accroissements finis généralisé est un théorème de la moyenne généralisé :
    Pour toutes fonctions u et v à valeurs réelles, continues sur un segment [a, b] avec a < b, v gardant un signe constant sur [a, b], il existe un réel c de ]a, b[ tel que
    u(c)\int_a^b v(x)~\mathrm dx=\int_a^b u(x)v(x)~\mathrm dx.

Fonction d'une variable vectorielle[modifier | modifier le code]

Soient \Omega un ouvert d'un espace vectoriel normé E (par exemple E = ℝn), f:\Omega\to\R une fonction différentiable, x un point de \Omega et h un vecteur non nul de E tel que [x,x+h]\subset\Omega, alors il existe \xi\in]x,x+h[ tel que

f(x+h)-f(x)=D_\xi f(h),

par simple application du théorème des accroissement finis à la fonction composée [0,1]\to\R, t\mapsto f(x+th).

Fonction à valeurs vectorielles[modifier | modifier le code]

Pour une telle fonction, il n'existe pas d'analogue du théorème (avec égalité) des accroissements finis, ni même de son cas particulier qu'est le théorème de Rolle (cf. § Remarques de l'article sur ce théorème).

Il existe cependant une inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles.

À défaut, lorsque l'espace d'arrivée de f est ℝn, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à chacune des composantes réelles fk de la fonction f = (f1, … , fn), mais les ck que l'on construit ainsi (ou les ξk comme ci-dessus si la variable est vectorielle) n'ont aucune raison d'être égaux.

En cinématique, pour déterminer l'orientation de la tangente, on utilise la corde.
Il s'écoule 0,04 s entre le relevé de deux points.

Application en cinématique[modifier | modifier le code]

En cinématique, le vecteur vitesse d'un point d'un mobile est tangent à la trajectoire de ce point. À partir d'un enregistrement du mouvement (succession de positions relevées à intervalle de temps constant), on peut déterminer la direction du vecteur vitesse au point i en considérant la corde (Mi-1Mi+1).

En effet, sur un petit intervalle, la pente de la tangente varie peu, donc on estime que la valeur en Mi vérifie le théorème des accroissements finis.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Joseph-Louis Lagrange, Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies, (1797), Journal de l'École polytechnique, 9e cahier, tome III, §52, p.49

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Andreas Kriegl et Peter W. Michor (de), The Convenient Setting of Global Analysis, AMS,‎ 1997 (ISBN 978-0-82180780-4, lire en ligne), p. 10
  2. (en) Stephen D. Casey et Richard Holzsager, « On Positive Derivatives and Monotonicity », Missouri J. Math. Sci., vol. 17, no 3,‎ 2005, p. 161-173 (lire en ligne).