Théorème des gendarmes

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Deux fonctions f et h qui admettent la même limite L au point a et une fonction g prise en « étau » entre f et h dans le voisinage de a. Selon le théorème du sandwich, g admet L comme limite en a.

En analyse, le théorème des gendarmes (également appelé théorème d'encadrement, théorème du pincement, théorème de l'étau ou théorème du sandwich) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Selon ce théorème, si deux fonctions (f et h) admettent la même limite en un point (a) et qu'une troisième fonction (g) est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre f et h dans le voisinage de a, alors g admet en a une limite, égale à la limite commune de f et h.

Le théorème des gendarmes est souvent utilisé afin de déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit I un intervalle contenant le point a. Soit f, g et h trois fonctions réelles définies sur l'intervalle I, sauf possiblement au point a.

  • si pour tout x de I qui n'est pas égal à a on a f(x)\le g(x) \le h(x)
  • et si \lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a}h(x) = L,
  • alors \lim_{x \to a}g(x) = L.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • a peut être situé à l'intérieur de l'intervalle I ou à une de ses bornes (extrémités). En effet, dans ce dernier cas, on considérera la limite à gauche ou la limite à droite.
  • a peut être fini ou infini. En effet, basé sur la remarque précédente, si, par exemple, I = [0, +\infty [, nous pouvons utiliser la limite lorsque x \to +\infty.
  • Plus généralement : l'intervalle I peut être remplacé par une partie d'un espace topologique, sur laquelle f, g et h sont définies et à laquelle le point a est adhérent.
  • Les fonctions f, g et h peuvent être supposées, plus généralement que réelles, à valeurs dans = ℝ ∪ {–∞, +∞}, les valeurs +∞ et –∞ étant alors également permises pour L.

Origine du nom[modifier | modifier le code]

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Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions f et h à des gendarmes et g à un délinquant. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie L. En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich »…

Démonstration[modifier | modifier le code]

La démonstration suivante, valable pour la version générale indiquée dans les remarques, met directement en œuvre la notion de voisinage de a et la définition de la limite.

Pour tout intervalle ouvert U contenant L,

  • Puisque \lim_{x \to a}f(x) = L, il existe un voisinage V1 de a (dans I) tel que
pour tout x de V1, f(x) \in U
  • Puisque \lim_{x \to a}h(x) = L, il existe un voisinage V2 de a tel que
pour tout x de V2, h(x) \in U
  • Enfin, d'après la propriété d'encadrement, il existe un voisinage V3 de a tel que
pour tout x de V3, f(x) \le g(x) \le h(x)

L'intersection de trois voisinages est un voisinage donc V = V_1 \cap V_2 \cap V_3 est un voisinage de a et pour tout x de V, on a

  • f(x) \in U
  • h(x) \in U
  • f(x) \le g(x) \le h(x)

d'où il vient que pour tout voisinage U contenant L, il existe un voisinage V tel que x\in V implique g(x) \in U,

ce qui prouve que \lim_{x \to a}g(x) = L

Exemple[modifier | modifier le code]

Montrons que :

\lim_{x \to +\infty} {\sin(x)\over x} = 0

On a, pour tout réel x :

-1 \le \sin(x) \le 1

Donc, pour tout réel x strictement positif :

-{1\over x} \le {\sin(x)\over x} \le {1\over x}

Or :

\lim_{x \to +\infty} -{1\over x} = 0 et \lim_{x \to +\infty} {1\over x} = 0

Ainsi, d'après le théorème dit « des gendarmes » :

\lim_{x \to +\infty} {\sin(x)\over x} = \lim_{x \to +\infty} -{1\over x} = \lim_{x \to +\infty} {1\over x} = 0

Variantes[modifier | modifier le code]

La version générale, indiquée en remarque et démontrée ci-dessus, admet les cas particuliers suivants (avec a fini ou non) :

  • si f et g sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :f(x)\le g(x)\text{ et }\lim_{x \to a}f(x) = +\infty,\text{ alors }\lim_{x \to a}g(x) = + \infty~;
  • si g et h sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :g(x)\le h(x)\text{ et }\lim_{x \to a}h(x) = -\infty,\text{ alors }\lim_{x \to a}g(x) = - \infty~;
  • si g et h sont deux fonctions réelles définies sur un même intervalle I, telles que pour tout x de I dans un voisinage de a :0 \le g(x)\le h(x)\text{ et }\lim_{x \to a}h(x) = 0,\text{ alors }\lim_{x \to a}g(x) = 0~;
  • si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > Nu_n\le v_n \le w_n\text{ et }\lim_{n \to +\infty}u_n = \lim_{n \to +\infty}w_n = L,\text{ alors }\lim_{n \to +\infty}v_n = L,avec les variantes pour les limites infinies (de suites).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème du sandwich (variante)