Cercle trigonométrique

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En mathématiques, le cercle trigonométrique est un cercle qui permet d'illustrer et de définir des notions comme celles d'angle, de radian et les fonctions trigonométriques : cosinus, sinus, tangente. Il s'agit du cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est centré sur l'origine du repère, dans le plan usuel muni d'un repère orthonormé.

Fonctions trigonométriques sur le cercle[modifier | modifier le code]

Illustration du cercle trigonométrique unitaire ; la variable t est la mesure de l'angle.

Soit (O ; \vec{\imath} ; \vec{\jmath}) un repère orthonormé du plan euclidien.

Soit M un point du cercle trigonométrique de coordonnées (x, y) et \vec{u}=\overrightarrow{OM} son vecteur associé. Si un réel t est une mesure de l'angle \left(\vec{\imath},\vec{u}\right) alors x = \cos(t)\text{ et }y = \sin(t)

et l'équation cartésienne du cercle donne immédiatement une identité trigonométrique connue :

 \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!

Le cercle trigonométrique peut aussi donner un moyen intuitif de réaliser que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques, vérifiant les relations :

\forall t\in\R,\ \forall k\in\Z,\quad\cos(t+2k\pi)=\cos(t)\text{ et }\sin(t+2k\pi)=\sin(t).

Ces égalités s'interprètent par le fait que le point (x, y) reste le même après avoir ajouté ou retranché un multiple entier de et ainsi effectué plusieurs tours complets du cercle. Lorsqu'elles sont définies à partir d'un triangle rectangle, les valeurs des fonctions sinus, cosinus et d'autres fonctions trigonométriques n'ont de sens que pour des angles compris entre 0 et π/2 rad, mais dans le cercle trigonométrique leurs valeurs prennent un sens en n'importe quel réel.

Toutes les fonctions trigonométriques de l'angle θ peuvent être construites géométriquement dans un cercle unitaire centré sur O.

Le rapporteur est un instrument de mesure matérialisant le cercle trigonométrique.

Valeur et équivalents des expressions[modifier | modifier le code]

Plan d'un cercle trigonométrique avec ses équivalents de pi sous forme de cosinus et sinus.
Expression 0 \frac \pi 6 \frac \pi 4 \frac \pi 3 \frac \pi 2 \frac {2 \pi} {3} \frac {3 \pi} {4} \frac {5 \pi} {6} \pi \frac {7 \pi} {6} \frac {5 \pi} {4} \frac {4 \pi} {3} \frac {3\pi} {2} \frac {5 \pi} {3} \frac {7 \pi} {4} \frac {11 \pi} {6} 2 \pi
Valeur en degrés 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Équivalent cosinus 1 \frac {\sqrt{3}} 2 \frac {\sqrt{2}} 2 \frac 1 2 0 - \frac 1 2 - \frac {\sqrt{2}} 2 - \frac {\sqrt{3}} 2 -1 - \frac {\sqrt{3}} 2 - \frac {\sqrt{2}} 2 - \frac 1 2 0 \frac 1 2 \frac {\sqrt{2}} 2 \frac {\sqrt{3}} 2 1
Équivalent sinus 0 \frac 1 2 \frac {\sqrt{2}} 2 \frac {\sqrt{3}} 2 1 \frac {\sqrt{3}} 2 \frac {\sqrt{2}} 2 \frac 1 2 0 - \frac 1 2 - \frac {\sqrt{2}} 2 - \frac {\sqrt{3}} 2 -1 - \frac {\sqrt{3}} 2 - \frac {\sqrt{2}} 2 - \frac 1 2 0

Le cercle trigonométrique et le repérage polaire[modifier | modifier le code]

Le cercle trigonométrique est un cas particulier simple de la représentation en coordonnées polaires d'un point M du plan. Au couple de composantes cartésiennes (x, y), on substitue un couple (r,θ), où r est la distance, positive, de M à l'origine, et θ un angle congru à l'angle orienté (\vec{i},\overrightarrow{OM})\mod 2\pi. Cette approche permet alors de définir le cercle trigonométrique comme le lieu des points vérifiant en coordonnées polaires r = 1.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Cercle unité