Problèmes non résolus en mathématiques

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En toute généralité la résolution d'un problème en mathématique est relative au cadre axiomatique dans lequel on se place. Pour exemples on peut prouver plus en logique classique qu'en logique intuitionniste et aussi plus dans la théorie des ensembles usuelle que dans la théorie arithmétique.

On a par exemple le théorème de Goodstein qui s'exprime dans le langage de l'arithmétique et qui est démontré un indécidable de la théorie arithmétique, lors qu'il est un théorème de la théorie des ensembles.

Aussi le célèbre dernier théorème de Fermat, qui lui aussi s'exprime dans le langage de l'arithmétique, est résolu en théorie des ensembles, mais on ne sait pas s'il est résoluble ou non dans la théorie arithmétique [1].

Ce qui suit est donc une liste de problèmes non résolus en mathématiques standard, soit en logique classique avec la théorie des ensembles usuelle.

Problèmes du prix du millénaire[modifier | modifier le code]

Sur les sept problèmes du prix du millénaire fixés par l'Institut de mathématiques Clay, les six qui restent ouverts sont :

Seule la conjecture de Poincaré a été prouvée.

Autres problèmes encore non résolus[modifier | modifier le code]

Théorie des nombres[modifier | modifier le code]

Généralités
Nombres premiers

Algèbre[modifier | modifier le code]

Analyse[modifier | modifier le code]

Combinatoire[modifier | modifier le code]

Théorie de Ramsey

Théorie des graphes[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Mais il ne peut y être faux, à moins que l'arithmétique soit une théorie contradictoire ; ce qui est envisageable car la cohérence de l'arithmétique ne peut être établie (second théorème d'incomplétude), quel que soit le cadre axiomatique