Problème de Waring

En théorie des nombres, le problème de Waring, proposé en 1770 par Edward Waring consiste à déterminer si, pour tout entier naturel k, il existe un entier naturel s tel que tout entier soit la somme d'au plus s puissances k-ièmes d'entiers. La réponse affirmative fut apportée par David Hilbert en 1909. Ce sujet est parfois décrit comme le théorème de Hilbert-Waring.

Historique

Pour chaque entier naturel k, notons le plus petit entier naturel s tel que tout entier soit la somme d'au plus s puissances k-ièmes d'entiers par g(k). Nous avons g(1) = 1. Quelques calculs montrent que 7 requiert quatre carrés, 23 requiert neuf cubes, et 79 requiert dix-neuf puissances quatrièmes. Waring conjectura que ces valeurs étaient les meilleures possibles.

Le théorème des quatre carrés de Lagrange de 1770 affirme que chaque nombre naturel est la somme d'au plus quatre carrés ; puisque trois carrés ne sont pas suffisants, ce théorème établit g(2) = 4. Ce théorème fut conjecturé par Fermat en 1640 et sa première mention date de 1621.

Au fil des années, divers majorants de g furent trouvés, avec des techniques de démonstration de plus en plus sophistiquées ; par exemple, Liouville montra que g(4) vaut au plus 53. De même, Hardy et Littlewood démontrèrent que tous les nombres suffisamment grands sont la somme d'au plus dix-neuf puissances quatrièmes.

Les valeurs exactes de g(n), pour n compris entre 3 et 6, ont été déterminées entre 1909 et 1986 :

• 1909 : g(3) = 9 (Wieferich (en) et Kempner)
• 1986 : g(4) = 19 (Balasubramanian (en), Dress et Deshouillers (de))
• 1965 : g(5) = 37 (Chen Jingrun)
• 1940 : g(6) = 73 (Pillai (de)).

Toutes les valeurs de g sont connues aujourd'hui, grâce au travail de Dickson, Pillai, Rubugunday et Niven. Leur énoncé contient deux cas et il est conjecturé que le second cas ne peut jamais se produire ; dans le premier cas, la formule se lit

g(k) = E((3/2)^k) + 2^k - 2     pour k ≥ 1.

Les majorations provisoires

Avant que soient trouvées les valeurs exactes de g(n), des majorations avaient été déterminées. En voici quelques-unes, pour n de 3 à 8.

Majoration de g(3)

• 17 (Maillet, 1895)
• 13 (A. Fleck, 1906)
• 9 (Wieferich, 1909), valeur exacte.

Majoration de g(4)

• 53 (J. Liouville, 1859)
• 47 (S. Réalis, 1878)
• 45 (É. Lucas, 1878)
• 41 (É. Lucas, 1878)
• 39 (A. Fleck, 1906)
• 38 (E. Landau, 1907)
• 37 (A. Wieferich, 1909)
• 35 (L. E. Dickson, 1933)
• 22 (H.E. Thomas, 1973)
• 21 (R. Balasubramanian, 1979)
• 20 (R. Balasubramanian, 1985)
• 19 (R. Balasubramanian, F. Dress, J.-M. Deshouillers, 1986), valeur exacte

Majoration de g(5)

• 192 (A. Fleck, 1906)
• 59 (A. Wieferich, 1909)
• 58 (Baer, 1913)
• 54 (L.E. Dickson, 1933)
• 37 (Chen Jingrun, 1965), valeur exacte.

Majoration de g(6)

• 970, (A.J. Kempner, 1912)
• 478 (Baer, 1913)
• 183 (James, 1934)
• 73 (K.C.S. Pillai, 1940), valeur exacte.

Majoration de g(7)

• 3 806 (A. Wieferich, 1909)
• 322 (James, 1934)
• 143, valeur exacte.

Majoration de g(8)

• 36 119 (A. Hurwitz, 1908)
• 31 353 (A.J. Kempner, 1912)
• 595 (James, 1934)
• 279, valeur exacte.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Waring's problem » (voir la liste des auteurs)

Bibliographie

• (en) W. J. Ellison, « Waring's problem », Amer. Math. Month., vol. 78, 1971, p. 10-36 [texte intégral] 
  Exposé, contenant une formule précise pour g(k), une version simplifiée de la preuve de Hilbert et de nombreuses références.
• (en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics, 1933 (ISBN 978-0-691-02351-9) [lire en ligne] 
  Contient une preuve du théorème de Lagrange, accessible aux étudiants.
• (en) R. C. Vaughan (de) et T. D. Wooley (de), « Waring's Problem: A Survey », dans M. A. Bennett et al., Number Theory for the Millenium, vol. 3, A. K. Peters, 2002 [lire en ligne], p. 301-340 

Article connexe

• Problème de Waring-Goldbach (en)