Nombre de Riesel

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Un nombre de Riesel est, en mathématiques un entier naturel impair k tel que pour tout entier naturel n, l'entier k×2n – 1 est composé.

Propriétés[modifier | modifier le code]

En 1956, Hans Riesel a montré qu'il existait une infinité d'entiers de la sorte. Il a montré également que le nombre 509 203 possédait cette propriété, ainsi que toute somme de 509 203 et d'un multiple de 11 184 810.

Pour les cinq seuls nombres de Riesel k connus en dessous d'un million, la suite d'entiers k×2n – 1 possède un ensemble de couverture (en) fini, c'est-à-dire qu'il existe un ensemble fini de nombres premiers tel que chaque terme de la suite soit divisible par au moins l'un de ces nombres. Ce sont les suivants :

  • 509 203 : {3, 5, 7, 13, 17, 241}
  • 762 701 : {3, 5, 7, 13, 17, 241}
  • 777 149 : {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
  • 790 841 : {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
  • 992 077 : {3, 5, 7, 13, 17, 241}

Problème de Riesel[modifier | modifier le code]

Le problème de Riesel consiste en la détermination du plus petit nombre de Riesel. On conjecture que 509 203 est le plus petit nombre de Riesel. Cependant, à la date du 28 décembre 2013[1], 52 nombres inférieurs ont pour l'instant donné des nombres composés pour toutes les valeurs de n testées :

2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 146561, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 273809, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 402539, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743, 502573.

Le Riesel Sieve (en) Project avait permis auparavant d'éliminer 33 k grâce à la découverte d'un nombre premier de la forme k×2n – 1 pour chacun d'eux. Il fait maintenant partie du projet PrimeGrid, qui étudie actuellement les nombres restants et avait permis de découvrir 12 nombres premiers[2] et donc d'éliminer 12 k. Neuf d'entre eux étaient :

65 531, 123 547, 141 941, 162 941, 191 249, 252 191, 353 159, 415 267 et 428 639.

k Nombre premier (k×2n – 1) Nombre de chiffres en base 10 Date
65 531 65 531×23 629 342 – 1 1 092 546 5 avril 2011
123 547 123 547×23 804 809 – 1 1 145 367 8 mai 2011
141 941 141 941×24 299 438 – 1 1 294 265 26 mai 2011
162 941 162 941×2993 718 – 1 299 145 2 février 2012
191 249 191 249×23 417 696 – 1 1 028 835 21 novembre 2010
252 191 252 191×25 497 878 – 1 1 655 032 23 juin 2012
353 159 353 159×24 331 116 – 1 1 303 802 31 mai 2011
415 267 415 267×23 771 929 – 1 1 135 470 8 mai 2011
428 639 428 639×23 506 452 – 1 1 055 553 14 janvier 2011

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riesel number » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Wilfrid Keller, « The Riesel Problem: Definition and Status »,‎ 28 décembre 2013
  2. (en) « Twelfth Riesel prime discovery announcement », sur PrimeGrid,‎ 25 décembre 2013.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Nombre de Sierpinski

Liens externes[modifier | modifier le code]