Conjecture de Gilbreath

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En théorie des nombres, la conjecture de Gilbreath est une conjecture non résolue attribuée à Norman L. Gilbreath en 1958, bien que déjà proposée en 1878 par François Proth (en)[1].

Définition du problème[modifier | modifier le code]

On écrit sur une première ligne la suite des nombres premiers, soit :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

et on écrit sur chaque ligne suivante la valeur absolue de la différence entre deux valeurs consécutives de la ligne précédente, ce qui équivaut, en notant a_n les valeurs de la suite d'une certaine ligne et b_n celles de la ligne suivante, à :

b_n = |a_n - a_{n+1}|.

On obtient ainsi une succession de lignes :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …

La conjecture de Norman Gilbreath s'énonce ainsi :

La première valeur de chaque ligne est 1 (sauf dans la première ligne).

Elle a été vérifiée pour tous les nombres premiers inférieurs à 10^{13}, i.e. jusqu'à la 3,4.10^{11}-ième ligne[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. François Proth, Sur la série des nombres premiers, dans Nouv. Corresp. Math 4 (1878), 236-240
  2. (en) Andrew Odlyzko, « Iterated absolute values of differences of consecutive primes », Mathematics of Computation, vol. 61,‎ 1993, p. 373–380 (lire en ligne)