Quadruplet de nombres premiers

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Article principal : Séquence de nombres premiers.

Un quadruplet de nombres premiers est, au sens le plus commun, un n-uplet (p_1, p_2, p_3, p_4) de quatre termes premiers, c'est-à-dire appartenant chacun à l'ensemble \mathbb{P} des nombres premiers. Autrement dit, c'est un élément de l'ensemble \mathbb{P}^4.

Les recherches en théorie des nombres sur les nombres premiers ont amené les mathématiciens à définir et examiner des quadruplets particuliers, dont les termes premiers répondent à des conditions précises.

Les quadruplets de nombres premiers les plus étudiés regroupent des nombres premiers successifs, c'est-à-dire séparés par trois distances minimales. Cette définition encore générale ne présente toujours pas beaucoup d'intérêt puisque, les nombres premiers étant en quantité infinie, il est toujours possible de rassembler ces nombres successifs 4 par 4, et ce jusqu'à l'infini.

Quadruplet de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

En pratique, la notion de quadruplet de nombres premiers, au sens strict habituellement rencontré dans la littérature mathématique, concerne les quadruplets constitués de deux paires de nombres premiers jumeaux (distants de 2), elles-mêmes séparées par une distance de 1 (cas exceptionnel) ou 3 (cas général) nombres composés consécutifs.

À partir de la troisième occurrence de ce type de quadruplet, les deux couples de jumeaux sont séparés par exactement 3 nombres composés qui sont :

  • un multiple de 2,
  • un multiple de 15,
  • un autre multiple de 2.

Propriétés caractéristiques[modifier | modifier le code]

À partir de la seconde occurrence, un tel quadruplet de nombres premiers commençant par le nombre premier p est donc :(p, p+2, p+6, p+8).

À partir de ce même second rang, tous les quadruplets sont de la forme : (30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19), où n est un entier naturel.

Liste de quadruplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

Les deux plus petits quadruplets de nombres premiers répondant à la condition particulière ci-dessus sont atypiques, car ils ne sont pas centrés autour d'un multiple de 15  :

Les petits quadruplets de nombres premiers typiques de cette catégorie sont, jusqu'à 100 000 :

  • de 0 à 100, 1 occurrence  : (11, 13, 17, 19) issue des deux couples de jumeaux (11, 13) et (17, 19), séparés par 14 = 2 x 7, 15 = 15 x 1 et 16 = 2 x 8
  • de 101 à 250, 2 occurrences : (101, 103, 107, 109) issue des deux couples de jumeaux (101, 103) et (107, 109), séparés par 104 = 2 x 52, 105 = 15 x 7, 106 = 2 x 53 ; (191, 193, 197, 199) ;
  • de 251 à 500, 0 occurrence ;
  • de 501 à 1 000, 1 occurrence : (821, 823, 827, 829) ;
  • de 1 001 à 2500, 2 occurrences : (1 481, 1 483, 1 487, 1 489) ; (1 871, 1 873, 1 877, 1 879) ;
  • de 2 501 à 5 000, 3 occurrences : (2 081, 2 083, 2 087, 2 089) ; (3 251, 3 253, 3 257, 3 259) ; (3 461, 3 463, 3 467, 3 469) ;
  • de 5 001 à 10 000, 2 occurrences : (5 651, 5 653, 5 657, 5 659) ; (9 431, 9 433, 9 437, 9 439) ;
  • de 10 001 à 25 000, 9 occurrences : (13 001, 13 003, 13 007, 13 009) ; (15 641, 15 643, 15 647, 15 649) ; (15 731, 15 733, 15 737, 15 739) ; (16 061, 16 063, 16 067, 16 069) ;
    (18 041, 18 043, 18 047, 18 049) ; (18 911, 18 913, 18 917, 18 919) ; (19 421, 19 423, 19 427, 19 429) ; (21 011, 21 013, 21 017, 21 019) ; (22 271, 22 273, 22 277, 22 279) ;
  • de 25 001 à 50 000, 4 occurrences : (25 301, 25 303, 25 307, 25 309) ; (31 721, 31 723, 31 727, 31 729) ; (34 841, 34 843, 34 847, 34 849) ; (43 781, 43 783, 43 787, 43 789) ;
  • de 50 001 à 75 000, 6 occurrences : (51 341, 51 343, 51 347, 51 349) ; (55 331, 55 333, 55 337, 55 339) ; (62 981, 62 983, 62 987, 62 989) ; (67 211, 67 213, 67 217, 67 219) ;
    (69 491, 69 493, 69 497, 69 499) ; (72 221, 72 223, 72 227, 72 229) ;
  • de 75 001 à 100 000, 7 occurrences : (77 261, 77 263, 77 267, 77 269) ; (79 691, 79 693, 79 697, 79 699) ; (81 041, 81 043, 81 047, 81 049) ; (82 721, 82 723, 82 727, 82 729) ;
    (88 811, 88 813, 88 817, 88 819) ; (97 841, 97 483, 97 487, 97 489) ; (99 131, 99 133, 99 137, 99 139) ;
  • etc.

Constante de Brun[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Constante de Brun.

Une constante de Brun, notée B4 pour ces quadruplets de nombres premiers, est la somme des inverses de tous les nombres premiers de ces quadruplets :

B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots

La valeur approchée de cette constante est :

B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Dénombrement des quadruplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

On ignore s'il existe un nombre infini de tels quadruplets de nombres premiers.

Démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux ne démontrera pas nécessairement qu'il existe aussi une infinité de quadruplets de nombres premiers. En effet, compte tenu de la dilution croissante des nombres premiers, il n'est pas évident que la distance minimale constante de 3 existe toujours entre deux couples de nombres premiers jumeaux.

Détermination de quadruplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

En utilisant Mathematica, on peut chercher les multiples de 15 qui centrent ces quadruplets de nombres premiers, en exécutant les commandes suivantes (on peut substituer un autre entier à 10 000 dans la fonction Range[] si on le désire) :

Select[Range[10000], PrimeQ[# * 15 - 4] && PrimeQ[# * 15 - 2] && PrimeQ[# * 15 + 2] && PrimeQ[# * 15 + 4] &]

% * 15

Records de grandeur de quadruplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

Un de ces plus grands quadruplets de nombres premiers connu est centré autour de : 10699 + 547 634 621 255[réf. nécessaire].

Depuis avril 2012, le plus grand de ces quadruplets de nombres premiers connu possède 3 024 chiffres (en base 10)[1].
Il a été trouvé par Peter Kaiser et commence par : p = 43 697 976 428 649 × 29 999 − 1.

Plus petite distance entre deux quadruplets[modifier | modifier le code]

Il n'est pas difficile de vérifier que la plus petite distance possible entre deux quadruplets de nombres premiers (p, p+2, p+6, p+8) et (P, P+2, P+6, P+8) est P - p = 30. Les trois premières occurrences de tels couples de quadruplets sont en p=1'006'301, p=2'594'951, et p=3'919'211.

Curiosité archéologique[modifier | modifier le code]

Le quadruplet de nombres premiers « (11, 13, 17, 19) » est supposé apparaître sur un os d'Ishango, selon Heinzelin et Alexander Marshack ; cette thèse est cependant contestée par Olivier Keller[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • suite A007530 de l'OEIS, liste des premiers termes « p1 » des quadruplets de nombres premiers
  • suite A136162 de l'OEIS, liste de l'ensemble des termes « p1 », « p2 », « p3 », « p4 », des quadruplets de nombres premiers distants d'un écart minimal constant.
  • suite A014561 de l'OEIS, liste des entiers naturels « n », tels que « (30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19) » soit un quadruplet de nombres premiers.