Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

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En mathématiques, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, abrégée en ZF, à laquelle on ajoute souvent l'axiome du choix, on la note alors ZFC, est une axiomatisation de la théorie des ensembles telle qu'elle avait été développée dans le dernier quart du XIXe siècle par Georg Cantor. L'axiomatisation a été élaborée au début du XXe siècle par plusieurs mathématiciens dont Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel mais aussi Thoralf Skolem.

Cette axiomatisation échappe aux paradoxes d'une théorie trop naïve des ensembles, comme le paradoxe de Russell, en écartant le schéma de compréhension non restreint (le fait que toute propriété puisse définir un ensemble, celui des objets ayant cette propriété) pour n'en conserver que certains cas particuliers utiles. De ce fait il existe des classes, des collections d’objets mathématiques définies par une propriété partagée par tous ses membres, qui ne sont pas des ensembles.

Dans la théorie ZF et ses extensions, ces classes dites classes propres ne correspondent pas à des objets de la théorie et ne peuvent être traitées qu'indirectement, à la différence de la très voisine théorie des classes de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG).

La théorie ZFC se présente comme une axiomatisation de la relation d'appartenance, en logique du premier ordre avec égalité. Les ensembles sont les seuls objets considérés. En particulier le seul objet qui n'a pas d'éléments est l'ensemble vide.

Les mathématiques usuelles peuvent être théoriquement développées entièrement dans le cadre de la théorie ZFC, éventuellement en ajoutant des axiomes, comme les axiomes de grands cardinaux, pour certains développements (ceux de la théorie des catégories par exemple). En ce sens il s'agit d'une théorie des fondements des mathématiques.

En 1963 Paul Cohen utilise la théorie ZFC pour répondre à la question posée par Cantor de l'hypothèse du continu, en montrant qu'elle n'était pas conséquence des axiomes de cette théorie, et que l'axiome du choix n'était pas conséquence de la théorie ZF. La méthode qu'il développe, le forcing, est à l'origine de nombreux développements de la théorie des ensembles. La très grande majorité des travaux des théoriciens des ensembles depuis au moins cette époque se situent dans le cadre de la théorie ZF, de ses extensions, ou parfois de ses restrictions.

La constructibilité, une méthode développée par Kurt Gödel en 1936 dans le cadre de la théorie NBG pour montrer que l'hypothèse du continu et l'axiome du choix n'étaient pas en contradiction avec les autres axiomes de la théorie des ensembles, s'adapte immédiatement à la théorie ZF.

Théorie de Zermelo (Z)[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie des ensembles de Zermelo (en).

La théorie de Zermelo est une présentation moderne de la théorie publiée par ce dernier en 1908, présentée explicitement ou implicitement dans le cadre de la logique du premier ordre avec égalité. Elle apparaît souvent dans les livres d'introduction à la théorie des ensembles.

L'axiome de l'ensemble vide, parfois introduit séparément, se déduit du schéma d'axiomes de compréhension (en logique du premier ordre). Le théorème de Hartogs, vu comme l'existence pour tout ensemble A d'un ensemble qui ne s'injecte pas dans A, se démontre dans la théorie de Zermelo.

La théorie de Zermelo comprenait à l'origine, en plus, l'axiome du choix. Dans la théorie (Z), le théorème de Zermelo et le lemme de Zorn peuvent se déduire de cet axiome supplémentaire[1] et lui sont donc équivalents.

Théorie de Zermelo-Fraenkel (ZF)[modifier | modifier le code]

Elle comporte en plus :

Le schéma d'axiomes de remplacement permet en particulier le développement de la théorie des ordinaux.

Le schéma d'axiomes de compréhension se déduit du schéma d'axiomes de remplacement.

L'axiome de fondation fait ou non partie de la théorie selon les auteurs. Il est indépendant des autres et n'est pas nécessaire à la théorie des ordinaux.

Théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (ZFC)[modifier | modifier le code]

Elle comporte en plus :

Autres axiomes[modifier | modifier le code]

D'autres axiomes peuvent être ajoutées à la théorie ZFC, comme

  • l'hypothèse du continu, qui ne peut ajouter de nouvelle contradiction (si la théorie ZFC avec hypothèse du continu est contradictoire, c'est que la théorie ZFC l'est aussi),
  • les axiomes de grands cardinaux, qui renforcent la théorie (on peut démontrer la cohérence de la théorie ZFC dans la théorie ZFC plus un axiome de grand cardinal, ce qui entraîne que la cohérence de ZFC plus un axiome de grand cardinal ne se déduit pas de celle de ZFC, par le second théorème d'incomplétude de Gödel).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple Moschovakis 2006, chap 8.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Ouvrages introductifs[modifier | modifier le code]

Aspects historiques[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]