Conjecture abc

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La conjecture abc ou conjecture d'Oesterlé-Masser est une conjecture en théorie des nombres. Elle a été formulée pour la première fois par Joseph Oesterlé (1988) et David Masser (1985). Elle est formulée en termes de trois nombres entiers positifs, a, b et c (d'où son nom), qui n'ont aucun facteur commun et satisfont a + b = c. Si d est le produit des facteurs premiers distincts de abc, alors la conjecture affirme en gros que d ne peut pas être beaucoup plus petit que c. Plus précisément, le rapport c\over d peut prendre des valeurs très grandes mais le rapport c\over d^{1+\varepsilon} est lui toujours borné.

Dorian Goldfeld l'a qualifié en 2006 de « problème non résolu le plus important en analyse diophantienne[1] » car, si elle était vérifiée, la conjecture permettrait de démontrer aisément le théorème de Fermat-Wiles dans un sens asymptotique, entre autres.

En août 2012, le mathématicien japonais Shinichi Mochizuki a publié un article sur sa page personnelle où il annonce avoir démontré cette conjecture[2],[3].

Introduction[modifier | modifier le code]

Radical et qualité d'un triplet[modifier | modifier le code]

Un problème classique en arithmétique est de trouver des triplets (a, b, c) de nombres positifs, premiers entre eux, avec a + b = c où les nombres sont des puissances de nombres entiers (voir le dernier théorème de Fermat). Par exemple[4] :

2^5+7^2=3^4,\qquad 13^2+7^3=2^9,\qquad 2^7+17^3=71^2,\qquad 3^5+11^4=122^2

Tidjman et Zagier conjecturent[5] que l'équation x^p+y^q=z^r n'a aucune solution avec des exposants (p, q, r) tous supérieurs à 2.

Un autre problème arithmétique est d'écrire les entiers comme différence de deux puissances (d'exposants supérieurs à 1) de nombres entiers (voir la conjecture de Pillai et le théorème de Catalan). Par exemple :

1=3^2-2^3,\qquad 2=3^3-5^2,\qquad 3=2^7-5^3,\qquad 4=5^3-11^2,\qquad 5=2^5-3^3

Plus généralement, on s'intéresse à des triplets (a, b, c) de nombres entiers, premiers entre eux, avec a + b = c où les nombres ont des facteurs premiers petits par rapport aux trois nombres.

Article détaillé : Radical d'un entier.

Le produit des facteurs premiers de abc est appelé le radical de abc.

On définit la qualité d'un triplet (a ; b ; c) de nombres positifs (avec c = a + b) par q(a,b,c)=\frac{\log(c)}{\log(\operatorname{rad}( abc ))}

Un premier exemple[modifier | modifier le code]

a = 1,\quad b = 2^3 = 8 \quad  \text{ et }\quad c =a+b = 9 = 3^2. \quad \,

Les nombres premiers qui divisent abc sont 2 et 3.

Le radical de abc est le produit des diviseurs premiers : \operatorname{rad}( 1\times 8\times 9 )=2\times 3 = 6.

On remarque que, dans notre exemple, le radical est plus petit que c, le plus grand des nombres a, b, c : \operatorname{rad}( abc )<c. Les triplets (a, b, c) de nombres positifs, premiers entre eux, avec a + b = c, tels que \operatorname{rad}( abc )<c, sont rares. Par exemple, il n'y en a que six[6] parmi les triplets de nombres inférieurs à 100.

Dans notre exemple la qualité du triplet vaut environ 1,2263 : q(1,8,9)=\frac{\log(9)}{\log(6)} \approx{}1{{,}}2263.

La qualité du triplet (1 ; 8 ; 9) est la puissance à laquelle il faut élever le radical pour obtenir c. On a : c=a+b\approx \operatorname{rad}( abc )^{1{{,}}2263}.

Les triplets dont le radical est inférieur à c sont ceux qui ont une qualité supérieure à 1.

Deuxième exemple[modifier | modifier le code]

a = 3,\quad b = 5^3 = 125 \quad  \text{ et }\quad c = 2^7 = 128.\;

Le radical du triplet (3 ; 125 ; 128) est : \operatorname{rad}(3\times 125\times 128)=2\times 3 \times 5= 30, qui est beaucoup plus petit que c.

La qualité du triplet est environ 1,4266 : q(3,125,128)=\frac{\log(128)}{\log(30)} \approx{}1{{,}}4266

On a : c=a+b\approx \operatorname{rad}( abc )^{1{{,}}4266}.

On voit que la qualité du triplet (a, b, c) est encore inférieure à 2. C'est le cas de tous les triplets de nombres premiers entre eux (a, b, c) dont la qualité a été calculée.

La conjecture abc énonce que les triplets de nombres (positifs et premiers entre eux) pour lesquels c=a+b> \operatorname{rad}( abc )^{1+\epsilon} n'existent qu'en nombre fini.

Énoncé de la conjecture[modifier | modifier le code]

Soit \varepsilon > 0, alors il existe une constante K_\varepsilon telle que, pour tous a, b, c entiers relatifs premiers entre eux vérifiant a+b=c, on ait :

\max(|a|,|b|,|c|)\le \operatorname{K}_\varepsilon (\operatorname{rad}(abc))^{1+\varepsilon}

\operatorname{rad}(n) est le radical de n, c'est-à-dire le produit des nombres premiers divisant n.

Formulations équivalentes[modifier | modifier le code]

Une deuxième formulation utilise les logarithmes. En prenant le logarithme dans la première formulation, on obtient :

\max(\log|a|,\log|b|,\log|c|)\le \log\operatorname{K}_\varepsilon + (1+\epsilon)\log\operatorname{rad}(abc)

On peut formuler la conjecture en faisant intervenir la notion de qualité q(a, b, c) d'un triplet (a ; b ; c), définie par

 q(a, b, c) = \frac{ \log(c) }{ \log( \operatorname{rad}( abc ) ) }

Avec cette notation, la conjecture suppose que pour tout ε > 0, il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a ; b ; c) d'entiers positifs et premiers entre eux tels que : a + b = c et

q(a, b, c) > 1 + ε.

Une autre forme de la conjecture affirme que pour tout ε > 0, il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a ; b ; c) d'entiers positifs et premiers entre eux tels que : a + b = c et

c>(\operatorname{rad}(abc))^{1+\varepsilon}.

Le cas ε = 0[modifier | modifier le code]

On ne peut pas enlever l'hypothèse \varepsilon > 0 dans la formulation de la conjecture. En effet, si on prend[7] :

a_n=3^{2^n},\quad b_n=-1, \quad\text{ et }\quad c_n=3^{2^n}-1

a_n, b_n, \text{ et } c_n sont premiers entre eux et on a a_n+b_n=c_n. De plus, si n > 0, 2^{n+2} divise[8] c_n, donc :

\operatorname{rad}(a_nb_nc_n) \leq 3\times 2 \times {|c_n|\over 2^{n+2}} < {3 |a_n|\over 2^{n+1}}.

Par conséquent, on a un exemple de triplet (a, b, c) tel que

\max(|a_n|,|b_n|,|c_n|) = |a_n| > \frac{2^{n+1}}{3} \operatorname{rad} (a_nb_nc_n)> 2^{n-1} \operatorname{rad} (a_nb_nc_n)

Le rapport  \frac{\max(|a_n|,|b_n|,|c_n|)}{\operatorname{rad} (a_nb_nc_n)} > 2^{n-1} prend des valeurs arbitrairement grandes.

Exemple

Pour n = 2, 3^{2^2}=81,\quad  \text{ et }\quad 3^{2^2} -1 = 80  = 2^4\times 5

Le triplet (1 ; 80 ; 81) a pour radical :

\operatorname{rad}(1\times 80\times 81)= 2\times 3 \times 5 =30 \quad\text{ et }\quad \max(|a|,|b|,|c|) =  2{{,}}7 \operatorname{rad} (abc) > 2\operatorname{rad} (abc).

La qualité du triplet (1 ; 80 ; 81) est environ 1,2920 : q(1, 80, 81)=\frac{\log(81)}{\log(30)} \approx{}1{{,}}2920. (On a : \max(|a|,|b|,|c|) \approx \operatorname{rad}( abc )^{1{{,}}2920}).

Exemples de triplets abc de qualité élevée[modifier | modifier le code]

Exemple : 1 ; 4 374 et 4 375[modifier | modifier le code]

Un exemple de triplet ayant une qualité élevée est :

a = 1,\quad b = 2\times 3^{7} = 4\;374\quad  \text{ et }\quad c = 5^4 \times 7 = 4\;375. Son radical est : \operatorname{rad}( abc )=2\times 3 \times 5 \times 7 = 210

La qualité du triplet (a ; b ; c) est environ 1,5679 : q(a,b,c)=\frac{\log(4\;375)}{\log(210)} \approx{}1{{,}}5679

On a : c=a+b\approx \operatorname{rad}( abc )^{1{{,}}5679}

Le triplet de Reyssat[modifier | modifier le code]

Éric Reyssat a découvert le triplet qui a la plus grande qualité connue :

a = 2,\quad b = 3^{10}\times 109 = 6\;436\;341\quad  \text{ et }\quad c = 23^5 = 6\;436\;343.

Son radical est : \operatorname{rad}( abc )=2\times 3 \times 109 \times 23 = 15\;042

La qualité du triplet (a ; b ; c) est environ 1,6299 : q(a,b,c)=\frac{\log(23^5)}{\log(15\;042)} \approx{}1{{,}}6299

On a : c=a+b\approx \operatorname{rad}( abc )^{1{{,}}6299}

Analogie avec les polynômes : le théorème de Mason-Stothers[modifier | modifier le code]

L'idée de la conjecture abc s'est formée par analogie avec les polynômes. Un théorème abc est en effet disponible pour les polynômes sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle[9].

L'analogue pour les polynômes a été démontré par W. Stothers en 1981, et de manière élémentaire par R. C. Mason en 1984. Il se formule ainsi :

Pour tous les polynômes a(t), b(t), c(t) premiers entre eux vérifiant a+b=c, on a

\max(\deg\{a,b,c\})\le  n_0(abc)-1

n_0(abc) est le nombre de racines distinctes de abc.

Ce théorème permet de démontrer de manière aisée le théorème de Fermat pour les polynômes : l'équation

X(t)^n + Y(t)^n = Z(t)^n

X(t), Y(t), Z(t) sont des polynômes non constants, n'a pas de solutions si n \ge 3.

La tentation est alors grande de trouver un analogue pour les entiers, car il permettrait de démontrer tout aussi facilement le théorème de Fermat dans un sens asymptotique.

Conséquences[modifier | modifier le code]

Le théorème de Fermat asymptotique[modifier | modifier le code]

En supposant la conjecture abc, on peut démontrer une version asymptotique du théorème de Fermat[7], dans le sens où on montre qu'il existe N tel que pour tout n\ge N, x^n+y^n=z^n n'a plus de solutions entières (strictement positives). Ce N dépendrait cependant explicitement de la constante K_\varepsilon donné par la conjecture abc.

En prenant un \epsilon positif quelconque, on suppose que x, y et z sont des entiers non tous nuls avec x^n+y^n=z^n. Quitte à les réorganiser, on les suppose tous positifs et, quitte à les diviser par leur PGCD à la puissance n, on suppose qu'ils sont premiers entre eux. On a donc d'après la conjecture abc :

\max(|x|^n,|y|^n,|z|^n) = z^n \le \operatorname{K}_\epsilon \operatorname{rad} ((xyz)^n)^{1+\varepsilon}.

Or \operatorname{rad} ((xyz)^n)=\operatorname{rad} (xyz). Ceci donne, compte tenu de \operatorname{rad} (xyz) \le xyz \le z^3 :

z^n \le \operatorname{K}_\varepsilon z^{3(1+\varepsilon)}

donc en supposant z \geq 2, on obtient :

n \leq 3(1+\varepsilon) + \frac{\ln(\operatorname{K}_\varepsilon)}{\ln(2)}

Avec \epsilon =1, on a n \leq 6 + \frac{\ln(\operatorname{K}_1)}{\ln(2)} ce qui fournit une valeur limite à n dépendant explicitement de \operatorname{K}_1.

Autres conséquences[modifier | modifier le code]

La conjecture abc permettrait de prouver d'autres théorèmes importants en théorie des nombres, parmi lesquels :

La conjecture d'Erdős-Woods s'en déduirait également, à un ensemble fini près de contre-exemples[10].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Dorian Goldfeld (en), « Beyond the last theorem », The Sciences (en),‎ mars/avril 1996, p. 34-40.
  2. a+b=c ? : article de Pierre Colmez du 6 septembre 2012 sur Images des mathématiques, à propos de l'annonce de démonstration de la conjecture abc par Mochizuki
  3. Mochizuki, Shinichi, « Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations », Travail en cours,‎ août 2012
  4. Prime Numbers, a computational perspective, 2nd edition, Springer, 2005, p. 416
  5. Prime Numbers, a computational perspective, 2nd edition, Springer, 2005, p. 417
  6. Statistiques sur le nombre de triplets abc sur le site www.rekenmeemetabc.nl
  7. a et b Serge Lang, Algebra, 3e édition revue, Springer, 2002, p. 196.
  8. Cela peut se démontrer avec un raisonnement par récurrence en utilisant l'identité remarquable : 3^{2^{n+1}}-1=(3^{2^n}-1)(3^{2^n}+1).
  9. Serge Lang, Algebra, 3e édition revue, Springer, 2002, p. 194.
  10. M. Langevin, « Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc », CRAS, vol. 317, no 5,‎ 1993, p. 441-444

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

ABC@home, projet de calcul réparti utilisant BOINC afin de démontrer la conjecture abc en trouvant tous les triplets (a, b, c) jusqu'à 1018, voire plus.

Liens externes[modifier | modifier le code]