Discussion:Problèmes non résolus en mathématiques

Nombre étrange

Ceux-ci existent bel et bien. Je suppose que l'on veut parler d'une infinité de nombres étranges ? (après consultation de l'article en question, même pas, il y en aurait une infinité) --Gukguukk28 (ici) 19 mai 2010 à 20:28 (CEST) Trouvé l'erreur : il s'agit d'un nombre étrange impair. Comme quoi, toujours lire un article en entier avant de se plaindre --Gukguukk28 (ici) 19 mai 2010 à 20:35 (CEST)

Intérêt

Quel est l'intérêt de cette page? Des problèmes non résolus en mathématiques, il y en a des millions et on en créé de nouveaux chaque jour! Par contre, je suis content d'apprendre qu'il n'y a pas de problème non résolu en géométrie :) --Taladris (d) 17 juin 2010 à 19:01 (CEST)

Oui, ça (=vieille traduc de la page :en) fait wikt:et des ratons laveurs, malgré la tentative de classification. J'ai fait le ménage dans liste de conjectures mathématiques et les catégories associées (contestables aussi, mais à mon avis un poil moins). Je propose de les mentionner ici, et de ne laisser ici que ce qui ne peut pas être mentionné là-bas parce que certains problèmes ne se formulent pas en conjectures. Anne Bauval (d) 10 juin 2011 à 21:35 (CEST)

Remarque très douteuse

Dans une note rattachée à cet article, on lit, à propos du dernier théorème de Fermat:

Mais il ne peut y [dans la théorie arithmétique] être faux, à moins que l'arithmétique soit une théorie contradictoire ; ce qui est envisageable car la cohérence de l'arithmétique ne peut être établie (second théorème d'incomplétude), quel que soit le cadre axiomatique".

Cette utilisation du théorème d'incomplétude de Gödel pour justifier que la théorie arithmétique pourrait être contradictoire me semble être très douteuse. Que la consistance de l'arithmétique ne soit pas démontrable au sein d'un système formel est un fait (démontré par le théorème d'incomplétude de Gödel). Mais cela ne signifie pas que les mathématiciens envisageraient sérieusement que la théorie de l'arithmétique soit contradictoire. Si c'était le cas, par son rôle central dans les mathématiques, ce serait quasiment toutes les mathématiques qui deviendraient une théorie contradictoire.

Je pense qu'il faut supprimer cette note infondée. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par 78.152.130.60 (discuter)

Je pense que la note a été rédigée par un esprit rigoureux et mathématique qui explore toutes les possibilités logiques possibles et expose tous les cas, indépendamment du fait de savoir si ces cas sont sociologiquement ou épistologiquement pertinents/probables ou non. Elle est défendable du point de vue de la rigueur, mais vos arguments sont défendables également. Je ne m'oppose pas à la suppression de la note, ni à son maintient. --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 19 décembre 2014 à 16:28 (CET)

(supprimé) : c'était surtout faux, car le th. d'incomplétude ne dit absolument pas que "la consistance de l'arithmétique ne soit pas démontrable au sein d'un système formel".

Il y a une confusion par ailleurs dans l'introduction entre "non résolu" et non démontrable dans un système particulier qui sont deux choses très différentes, que l'on n'aborde pas du tout de la même façon. A mon avis cette introduction est tout à fait hors sujet (et dans le détail assez contestable).

Enfin il faut de sources, ça n'a pas grand sens de faire une "liste de problèmes non résolus" par contre il peut y avoir des articles ou livres structurés sur les problèmes non résolus dans un domaine des math., les raisons pour lesquelles on s'y intéresse ... Proz (discuter) 6 novembre 2015 à 09:10 (CET)

mais est-ce que Mais il ne peut y [dans la théorie arithmétique] être faux, à moins que l'arithmétique soit une théorie contradictoire ; ce qui est envisageable, est juste ? Il me semble que oui. Cela dit, c'est en effet à sourcer --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 6 novembre 2015 à 11:35 (CET)

Si on remplace faux par "la négation est démontrable" (je suppose que c'est ce que signifierait faux dans une théorie) alors le 2nd théorème d'incomplétude dit justement que la négation de la cohérence d'une théorie arithmétique cohérente peut être démontrable dans cette même théorie. Mais je crois surtout que tout ça n'a rien à voir avec le sujet de l'article. Prétendre que "non résolu" signifie "non démontré en théorie des ensembles usuelle" (laquelle ?) me semble très douteux, et surtout pas très pertinent car je ne pense pas que les questions se posent de cette façon. Je ne pense pas qu'une des sources ajoutées par Anne (on pourrait ajouter Devlin) le fasse. Proz (discuter) 6 novembre 2015 à 13:08 (CET) PS. Ce qui était faux c'était de dire "un système formel", il suffit de prendre la théorie T et d'ajouter comme axiome "T est consistante" (traduit comme il faut) ce qui donne une nouvelle théorie qui démontre que T est consistante sans trop de difficulté (y compris si cette nouevlle théorie est elle même inconsistante). Le 2nd th. d'incomplétude dit que la cohérence de T n'est pas démontrable dans la même théorie T, pour autant que T soit cohérente (je passe les détails des hypothèses).

Le "faux" dans la remarque s'applique au dernier théorème de Fermat, pas la cohérence de l'arithmétique, que j'avais justement évincé de la phrase en italique, pour ne garder que l'essentiel de la note. Et la note semble dire que si le th. de Fermat est démontré dans la théorie des ensembles, alors il est absolument impossible de trouver des triplets de Fermat (= "ne peux être faux"), à moins que l'arithmétique soit non cohérente, ce qui est (quoique fort peu probale) pas impossible. Cette remarque est-elle juste ? Autrement dit, est-il possible (du moins en principe) que le th. de Fermat soit faux, même s'il a été démontré dans la th. des ensembles ? La note traite ce sujet, je crois. --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 6 novembre 2015 à 13:51 (CET)

Ah d'accord : c'est la seconde partie de la note (celle que j'ai effacée je n'ai pas regardé comment c'était avant) qui était fausse, et c'est seulement à cela que je réponds. Pour le reste, effectivement le th. de Fermat étant démontré ce qui pour tout le monde signifie qu'il est vrai, et alors sa négation n'est pas démontrable dans n'importe quelle théorie "arithmétique" cohérente "raisonnable", Peano, étendue à la th. des ensembles, etc. (parce que si c'était le cas il suffirait de vérifier par le calcul, et ce genre de vérification se formalise sans difficulté dans une théorie très élémentaire). Par ailleurs une phrase comme "le th. de Fermat est résolu en théorie des ensembles" est imprécise, et tout cela me semble bien hors sujet (d'autant plus dans un résumé introductif !). Proz (discuter) 6 novembre 2015 à 14:46 (CET)