Algèbre géométrique (structure)

En mathématiques, une algèbre géométrique est une algèbre multilinéaire avec une interprétation géométrique mise au point par David HestenesDavid Hestenes, reprenant les travaux de Hermann Grassmann et William Kingdon Clifford (le terme est aussi utilisé dans un sens plus général pour décrire l'étude et l'application de ces algèbres : l'algèbre géométrique est l'étude des algèbres géométriques). Le but avoué de l'auteur de cette algèbre est de fonder un langage propre à unifier les manipulations symboliques en physique, dont les nombreuses branches pratiquent aujourd'hui, pour des raisons historiques, des formalismes différents (tenseurs, matrices, torseurs, analyse vectorielle, utilisation de nombre complexe, spineurs, quaternions, formes différentielles…). Le nom choisi par David Henestes (Geometric Algebra) correspond au nom que Clifford voulait donner à son algèbre, mais qui fut nommé algèbre de Clifford.

L'algèbre géométrique se veut utile dans les problèmes de physique qui impliquent des rotations, des phases ou des nombres imaginaires. Ses partisans disent qu'elle fournit une description plus compacte et intuitive de la mécanique quantique et classique, de la théorie électromagnétique et de la relativité. Les applications actuelles de l'algèbre géométrique incluent la vision par ordinateur, la biomécanique ainsi que la robotique et la dynamique des vols spatiaux.

Histoire

L'algèbre géométrique de David HestenesDavid Hestenes et al. (1984) réinterprète les algèbres de Clifford sur les réels et son objectif est de revenir au nom et à l'interprétation que Clifford avait originellement prévus. L'ouvrage d'Emil Artin Geometric Algebra discute des algèbres associées avec chacune des nombreuses géométries, dont la géométrie affine, la géométrie projective, la géométrie symplectique et la géométrie euclidienne.

Définitions

Algèbre géométrique

Une algèbre géométrique ${\mathcal {G}}$ est un espace vectoriel sur un corps $\mathbb {K}$, muni d'une loi de composition interne, dite produit géométrique et notée $(a,b)\mapsto ab$, qui est associative, bilatéralement distributive et qui contracte un sous-espace vectoriel ${\mathcal {V}}$:

${\begin{array}{c}a(bc)=(ab)c\\a(b+c)=ab+ac\\(a+b)c=ac+bc\\\forall \mathbf {a} \in {\mathcal {V}},\,\,\mathbf {a} ^{2}\in \mathbb {K} \end{array}}$

David Hestenes a exprimé sa forte réticence à considérer le cas d'un espace vectoriel à corps complexe. En fait dans un ouvrage récent, le corps des scalaires est bel et bien défini comme étant le corps des réels. La définition la plus générale a ici été présentée mais dans le reste de cet article, sauf mention contraire, il sera assumé $\mathbb {K} =\mathbb {R}$. Dans ce même ouvrage, Hestenes impose aussi à ${\mathcal {V}}$ une dimension finie $n$. Dans ce cas, ${\mathcal {V}}$ et ${\mathcal {G}}$ peuvent être notés respectivement ${\mathcal {V}}^{n}$ et ${\mathcal {G}}_{n}$ (ou ${\mathcal {G}}({\mathcal {V}}^{n})$).

Dans cet article, ${\mathcal {V}}$ est de dimension quelconque, mais dans le cas où cette dimension est infinie, elle sera tout de même supposée dénombrable pour faciliter les notations.

Cas Euclidien

Lorsque ${\mathcal {V}}$ est de dimension finie, et que le carré de tout élément de ${\mathcal {V}}$ est positif, on parle, pour des raisons justifiées plus loin, de cas Euclidien.

Algèbre de Clifford

La donnée d'un espace vectoriel ${\mathcal {V}}$ et d'une forme quadratique ${\mathcal {Q}}$ sur ${\mathcal {V}}$ permet de construire une algèbre géométrique dite générée par ${\mathcal {V}}$ sous la condition $v^{2}={\mathcal {Q}}(v)$. Cette algèbre est ce qu'on appelle l'algèbre de Clifford.

Si une algèbre de Clifford requiert une forme quadratique pour sa définition, il sera vu plus loin qu'inversement une algèbre géométrique permet de définir de façon unique une forme quadratique à partir du produit géométrique. La notion d'algèbre géométrique est donc très proche de la notion d'algèbre de Clifford : la différence étant essentiellement dans le sens de la définition. Une algèbre de Clifford est définie à partir d'un espace vectoriel et d'une forme quadratique, tandis qu'une algèbre géométrique est définie à partir d'un espace vectoriel et d'un produit géométrique. En fait de nombreuses sources définissent purement et simplement les algèbres géométriques comme des algèbres de Clifford, assimilant exactement les deux concepts.

Vecteur

Même si ${\mathcal {G}}$ est doté d'une structure d'espace vectoriel, David Hestenes réserve le mot vecteur aux éléments de ${\mathcal {V}}$. Dans cet article en règle générale les vecteurs seront notés en bas-de-casse gras.

Signature

La signature d'un vecteur $\mathbf {a}$ est le signe de $\mathbf {a} ^{2}$.

Les vecteurs peuvent être classés selon leur signature, décomposant ainsi ${\mathcal {V}}$ en deux sous-espaces de dimensions p, q. L'algèbre géométrique correspondante est alors notée ${\mathcal {G}}_{p,q}({\mathcal {V}})$.

Magnitude

La magnitude ou norme d'un vecteur $\mathbf {a}$, notée $|\mathbf {a} |$, est définie par l'application:

${\begin{array}{rcl}{\mathcal {V}}&\rightarrow &\mathbb {R} \\\mathbf {a} &\mapsto &{\sqrt {|\mathbf {a} ^{2}|}}\end{array}}$

C'est-à-dire:

$|\mathbf {a} |={\sqrt {|\mathbf {a} ^{2}|}}$

Ici $|\mathbf {a} ^{2}|$ désigne soit la valeur absolue de $\mathbf {a} ^{2}$ dans le cas $\mathbb {K} =\mathbb {R}$, soit son module dans le cas $\mathbb {K} =\mathbb {C}$.

Produits intérieur et extérieur

À partir du produit géométrique de deux vecteurs $\mathbf {a}$ et $\mathbf {b}$, deux nouveaux produits sont définis.

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} \right)\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {b} \mathbf {a} \right)\end{aligned}}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ est appelé produit intérieur, $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ est appelé produit extérieur.

Le produit extérieur est généralisé à $k$ vecteurs par la formule suivante:

$\bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{j}=\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \dots \wedge \mathbf {a} _{k}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\mathbf {a} _{\sigma (1)}\mathbf {a} _{\sigma (2)}\dots \mathbf {a} _{\sigma (k)}$

où ${\mathfrak {S}}_{k}$ est le groupe des permutations de degré $k$.

Priorités de calcul

La plupart des auteurs attribuent aux produits intérieur et extérieur une priorité supérieure au produit géométrique, de telle sorte que:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \mathbf {c} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \\\mathbf {a} \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} =\mathbf {a} (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}$

Décomposition canonique

Pour deux vecteurs $\mathbf {a}$ et $\mathbf {b}$, il est facile de déduire la relation suivante, qui constitue la décomposition dite canonique du produit géométrique de deux vecteurs:

$\mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ et $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ sont, pour des raisons justifiées plus loin, respectivement appelés partie scalaire et partie bivectorielle du produit géométrique $\mathbf {ab}$.

Orthogonalité

Deux vecteurs dont le produit intérieur est nul sont dits orthogonaux.

Base orthonormée

Une famille de vecteurs $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...)$ est dite orthonormée lorsque:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}$

où $\delta _{ij}$ est le symbole de Kronecker.

Lorsque cette famille est aussi génératrice de ${\mathcal {V}}$, on dit qu'elle constitue une base orthonormée des vecteurs de l'algèbre géométrique ou, avec un léger abus de langage, une base orthonormée de l'algèbre géométrique.

Il sera vu plus loin que dans le cas Euclidien cette définition d'une base orthonormée coïncide avec la définition d'une base orthonormée dans un espace euclidien.

Lame

Une lame $A_{k}$ est un élément de l'algèbre géométrique, qui peut être écrit comme produit extérieur de $k$ vecteurs linéairement indépendants.

$A_{k}=\bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{j}$

Degré

$k$ est ce qu'on appelle le degré de $A_{k}$.

Orientation

Deux lames colinéaires sont dites de même orientation lorsque le coefficient de proportionnalité qui les relie est positif. Dans le cas contraire, elle sont dites d'orientation opposée.

Unitarité

Une lame de degré $k$ est dite unitaire (ou unité) lorsqu'elle peut être écrite comme produit géométrique de $k$ vecteurs orthogonaux de magnitude 1.

Dégénérescence

Une lame est dite dégénérée ou nulle lorsque son carré géométrique est nul.

Trame

Les vecteurs $(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\ldots ,\mathbf {a} _{k})$ constituent ce qu'on appelle une trame(ou base) de $A_{k}$.

Il est dit aussi que $A_{k}$ est le pseudo-scalaire pour cette trame.

Dualité

Pour toute trame $(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots \mathbf {a} _{k})$, la trame duale est la famille de $k$ vecteurs $(\mathbf {a} ^{1},\mathbf {a} ^{2},\ldots \mathbf {a} ^{k})$ telle que:

$\mathbf {a} ^{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=\delta _{j}^{i}$

Projection au degré k

Il peut être montré que l'ensemble des combinaisons linéaires de lames de degré $k$, noté ${\mathcal {G}}^{k}$, constitue un sous-espace vectoriel de ${\mathcal {G}}$ et que l'ensemble des sous-espaces ainsi définis constituent une somme directe de l'espace géométrique:

${\mathcal {G}}=\bigoplus _{k}{\mathcal {G}}^{k}$

Cette décomposition, pour un $M\in {\mathcal {G}}$, donne:

$M=\sum _{k}\langle M\rangle _{k}$

définissant ainsi l'opérateur $M\mapsto \langle M\rangle _{k}$ dit de projection au degré k. $\langle M\rangle _{k}$ est qualifié de composante de degré k de M, ou encore partie de degré k de M.

Produits intérieur et extérieur

Les produits intérieur et extérieur de deux lames $A_{r}$ et $B_{s}$ peuvent être définis ainsi:

${\begin{aligned}A_{r}\cdot B_{s}&=\langle A_{r}B_{s}\rangle _{|r-s|}\\A_{r}\wedge B_{s}&=\langle A_{r}B_{s}\rangle _{r+s}\end{aligned}}$

Il est aisé de vérifier que cette définition est consistante avec les produit intérieur et extérieur définis plus haut pour les vecteurs, c'est-à-dire pour $r=s=1$.

David Hestenes propose aussi une définition récursive et remarque l'équivalence des deux définitions. Ici la version utilisant l'opérateur de projection a été préférée.

Bivecteur, trivecteur, k-vecteur

Les termes bivecteur, trivecteur et k-vecteur désignent respectivement des lames de degré deux, trois et k. Certains auteurs distinguent cependant les k-vecteurs des k-lames en stipulant que les k-vecteurs sont les combinaisons linéaires de k-lames. Il s'avère que cette distinction fait sens dans la mesure où dans le cas général toute combinaison linéaire de k-lame n'est pas nécessairement une k-lame.

Les bivecteurs et trivecteurs peuvent aussi être qualifiés respectivement d' aire orientée et de volume orienté.

Décomposition orthogonale

La donnée d'une lame non-dégénérée $A_{r}$ permet d'écrire tout vecteur $\mathbf {a}$ selon une décomposition dite orthogonale:

$\mathbf {a} =P_{A_{r}}(\mathbf {a} )+P_{A_{r}}^{\perp }(\mathbf {a} )$

où $P_{A_{r}}(\mathbf {a} )$ et $P_{A_{r}}^{\perp }(\mathbf {a} )$, appelés respectivement projection et réjection, sont définis ci-après.

Projection

$P_{A_{r}}(\mathbf {a} )=(\mathbf {a} \cdot A_{r})A_{r}^{-1}$

Réjection

$P_{A_{r}}(\mathbf {a} )=(\mathbf {a} \wedge A_{r})A_{r}^{-1}$

Multivecteur

Les éléments de ${\mathcal {G}}$ sont appelés multivecteurs. Les vecteurs et les lames, définis plus haut, sont donc des cas particuliers de multivecteurs.

Verseur

Un verseur est un multivecteur qui peut être écrit comme produit géométrique de vecteurs de carrés non nuls.

Commutateur

Le produit commutateur ou commutateur de deux multivecteurs $A$ et $B$ est:

$A\times B={\frac {1}{2}}(AB-BA)$

Réversion

La réversion d'un multivecteur $M$ est le multivecteur:

$M^{\dagger }=\sum _{k\geq 0}(-1)^{\frac {k(k-1)}{2}}\langle M\rangle _{k}$

Il peut être montré que l'opérateur $M\mapsto M^{\dagger }$ est un anti-automorphisme. Il est appelé anti-automorphisme principal de ${\mathcal {G}}$.

Certains auteurs utilisent le symbole tilde au lieu de l'obèle.

Involution par degré

L' involution par degré, ou conjugaison paritaire ou conjuguaison d'un multivecteur $M$ est le multivecteur:

$M^{*}=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\langle M\rangle _{k}$

L'opérateur $M\rightarrow M^{*}$ est une involution appelée involution principale de ${\mathcal {G}}$.

Parité

Un multivecteur est dit pair lorsque $M^{*}=M$. Il est dit impair lorsque $M^{*}=-M$.

Magnitude

La magnitude d'un multivecteur $M$ est le scalaire positif:

$|M|={\sqrt {\sum _{k}|\langle M\rangle _{k}\cdot \langle M\rangle _{k}|}}$

avec, dans le cas particulier d'une lame de degré $k$:

$|A_{k}|={\sqrt {|A_{k}\cdot A_{k}|}}$

Il est facile de se convaincre que cette définition coïncide avec celle donnée plus haut dans le cas des vecteurs.

Norme

Il peut être montré que la magnitude constitue une norme de l'algèbre géométrique. Le terme norme est donc aussi utilisé.

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux multivecteurs $M$ et $N$ est la partie scalaire du produit géométrique de $M$ par la réversion de $N$:

$\langle MN^{\dagger }\rangle =\langle NM^{\dagger }\rangle$

où $\langle \ldots \rangle$ désigne l'opérateur $M\rightarrow \langle M\rangle _{0}$.

Base canonique

Une base canonique est une base de ${\mathcal {G}}$ (vu en tant qu'espace vectoriel) telle qu'il existe une base orthonormée $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...)$ dans laquelle les éléments de la base canonique peuvent s'écrire:

$e_{J}=\mathbf {e} _{\sigma _{1}}\mathbf {e} _{\sigma _{2}}\ldots \mathbf {e} _{\sigma _{k}}$

où $J=(\sigma _{1},\sigma _{2}\ldots \sigma _{k})$ est une suite finie et strictement croissante d'entiers positifs.

Dimension finie

Les définitions de cette sous-section ne sont valables que lorsque ${\mathcal {V}}$ est de dimension finie $n$.

Pseudo-scalaire

Un pseudo-scalaire est une lame de degré $n$.

Pseudo-scalaire unitaire

Il peut être montré que tous les pseudo-scalaires unitaires, notés $I_{\sigma }$, sont égaux à un signe moins près. Cette quasi-unicité justifie une notation indépendante du choix des vecteurs $\mathbf {\sigma }$, ainsi que l'utilisation de l'article défini.

Le pseudo-scalaire unitaire est donc défini par:

$I=\pm I_{\sigma }$

Dualité

Le dual d'un multivecteur $M$ est:

${\widetilde {M}}=M^{\sim }=MI^{-1}$

Tout comme le pseudo-scalaire unitaire, le dual n'est donc défini qu'au signe près.

Intersection

L'intersection de deux multivecteurs est:

$M\vee N={\widetilde {M}}\cdot N$

Transformations linéaires

De façon générale les transformations linéaires sur ${\mathcal {V}}$ sont notées avec un symbole souligné ou surligné.

Il est important de garder à l'esprit qu'une transformation linéaire n'est pas un élément de l'algèbre géométrique. Une expression telle que ${\underline {f}}\mathbf {a}$ ne désigne donc pas un produit géométrique mais bien l'application de la fonction linéaire ${\underline {f}}$ sur $\mathbf {a}$

Endomorphisme adjoint

Pour tout endomorphisme ${\underline {f}}$ sur ${\mathcal {V}}$, il peut être montré qu'il existe un unique endomorphisme ${\overline {f}}$ tel que:

$\forall (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\in ({\mathcal {V}})^{2},\quad \mathbf {a} \cdot {\underline {f}}\mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot {\overline {f}}\mathbf {a}$

${\overline {f}}$ est alors appelé endomorphisme adjoint de ${\underline {f}}$

Ectomorphisme

Tout endomorphisme ${\underline {f}}$ sur ${\mathcal {V}}$ peut être naturellement étendu sur ${\mathcal {G}}$:

${\underline {f}}(A\wedge B)={\underline {f}}(A)\wedge {\underline {f}}(B)$

Cette extension est appelé ectomorphisme, compte tenu du fait qu'elle préserve le produit extérieur.

De la même façon pour toute lame $A_{k}=\bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{j}$:

${\underline {f}}(A_{k})=\bigwedge _{j=1}^{k}{\underline {f}}(\mathbf {a} _{j})$

La linéarité permet alors d'étendre ${\underline {f}}$ à tout ${\mathcal {G}}$.

La notion d'endomorphisme adjoint peut être généralisée aux ectomorphismes par la relation:

$\langle A{\underline {f}}B\rangle =\langle B{\overline {f}}A\rangle$

Transformations orthogonales

Une transformation linéaire ${\underline {U}}$ est dite orthogonale lorsqu'elle préserve le produit intérieur:

$\forall (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\in ({\mathcal {V}})^{2},\quad ({\underline {U}}\mathbf {a} )\cdot ({\underline {U}}\mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$

Il peut être montré que cette définition est équivalente à la caractérisation suivante:

${\underline {U}}^{-1}={\overline {U}}$

Forme canonique

Il peut être montré qu'une transformation linéaire ${\underline {U}}$ est orthogonale si et seulement si il existe un verseur $U$ tel que:

$\forall \mathbf {a} \in {\mathcal {V}},\quad {\underline {U}}\mathbf {a} =U\mathbf {a} (U^{*})^{-1}=U^{*}\mathbf {a} U^{-1}$

Il s'agit de la forme dite canonique d'une transformation orthogonale.

Analyse multivectorielle

Tout comme la donnée d'un espace vectoriel permet l'analyse vectorielle, c'est-à-dire l'étude du calcul infinitésimal pour des fonctions définies sur cet espace vectoriel à valeurs scalaires ou vectorielles, la donnée d'une algèbre géométrique, dont les éléments sont appelés multivecteurs, permet l'analyse dite multivectorielle des fonctions définies sur ${\mathcal {V}}$ mais à valeurs cette fois potentiellement multivectorielles. Les anglo-saxons, à l'instar d'Hestenes, parlent de geometric calculus ou multivector calculus, tout comme ils parlent de vector calculus pour désigner ce que les francophones appellent analyse vectorielle.

Dérivée vectorielle

L'outil le plus important pour cette discipline est probablement l'opérateur dit de dérivation vectorielle, qu'on peut définir ainsi:

${\begin{array}{rccl}\partial :&{\mathcal {G}}^{\mathcal {V}}&\rightarrow &{\mathcal {G}}^{\mathcal {V}}\\&F&\mapsto &\left(\mathbf {x} \mapsto \sum _{j}\mathbf {e} ^{j}\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(\mathbf {x} +\epsilon \mathbf {e} _{j})-F(\mathbf {x} )}{\epsilon }}\right)\end{array}}$

Cette définition est le plus souvent notée $\partial =\mathbf {e} ^{j}\partial _{j}$, en utilisant la convention de sommation d'Einstein. Le symbole $\nabla$ est aussi très souvent utilisé.

$\nabla =\mathbf {e} ^{j}\partial _{j}$

Il est montré dans l'article détaillé que cette définition a un sens dans la mesure où l'expression $\mathbf {e} ^{j}\partial _{j}$ forme un opérateur qui ne dépend pas de la base choisie.

Certains auteurs appellent cet opérateur gradient.

Propriétés

Symétrie et antisymétrie des produits intérieur et extérieur

Les produits intérieur et extérieur de deux vecteurs sont, par construction, respectivement symétrique et antisymétrique :

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} \\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=-\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} \end{aligned}}$

Plus généralement, le produit extérieur de plusieurs vecteurs est totalement antisymétrique:

$\forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k},\quad \bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{j}=\operatorname {sgn} (\sigma )\bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{\sigma (j)}$

Caractère scalaire du produit intérieur de vecteurs

Théorème — Le produit intérieur de deux vecteurs est un scalaire.

$\forall (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\in {\mathcal {V}}^{2},\quad \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \in \mathbb {K}$

Démonstration

Le produit intérieur de deux vecteurs peut être écrit ainsi:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} )={\frac {1}{2}}((\mathbf {a} +\mathbf {b} )^{2}-\mathbf {a} ^{2}-\mathbf {b} ^{2})$

C'est une combinaison linéaire de carrés de vecteurs. Compte tenu du critère de contraction, il s'agit donc d'un scalaire en tant que combinaison linéaire de scalaires.

Caractérisation algébrique de notions géométriques

Colinéarité et orthogonalité

Théorème — Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit extérieur est nul.

Démonstration

Si deux vecteurs $\mathbf {a}$ et $\mathbf {b}$ sont colinéaires, alors il existe un scalaire $\lambda$ tel que $\mathbf {a} =\lambda \mathbf {b}$. Dès lors on a $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\lambda \mathbf {a} \wedge \mathbf {a} =\lambda 0=0$.

Inversement, si $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =0$, alors la décomposition canonique donne $\mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$. En multipliant à droite par $\mathbf {b}$, il vient $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {b}$ et donc, en ignorant le cas dégénéré où $\mathbf {b} ^{2}=0$:

$\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} ^{2}}}\mathbf {b}$

Il reste alors à observer que ${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} ^{2}}}$ est un scalaire en tant que quotient de deux scalaires. Il y a donc bien colinéarité.

.

Cette observation, ajoutée à la définition de l'orthogonalité, permet de déduire les deux propriétés fondamentales suivantes:

Caractérisation algébrique de l'orthogonalité et de la colinéarité — 

• Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ils anti-commutent.
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils commutent.

C'est-à-dire:

${\begin{array}{ccccc}\mathbf {a} \perp \mathbf {b} &\iff &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0&\iff &\mathbf {a} \mathbf {b} =-\mathbf {b} \mathbf {a} \\\mathbf {a} \propto \mathbf {b} &\iff &\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =0&\iff &\mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {b} \mathbf {a} \end{array}}$

Indépendance linéaire

Une généralisation de la caractérisation algébrique de la colinéarité existe pour l'indépendance linéaire. En effet il peut être montré que $k$ vecteurs $(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\ldots ,\mathbf {a} _{k})$ sont linéairement indépendants si et seulement si leur produit extérieur est non-nul. Ou, de façon équivalente, ils sont linéairement dépendants si et seulement si leur produit extérieur est nul:

$\left(\exists (\alpha _{1},\alpha _{2}\ldots ,\alpha _{k})\in \mathbb {K} ^{k},\quad \sum _{j}\alpha _{j}\mathbf {a} _{j}=0\right)\iff \bigwedge _{j=1}^{k}\mathbf {a} _{j}=0$

Sous-espaces vectoriels

Pour tout sous-espace vectoriel ${\mathcal {F}}$ de ${\mathcal {V}}$ de dimension $r$, il peut être montré qu'il existe une lame $A_{r}$ telle que:

$\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {V}},\quad \mathbf {x} \in {\mathcal {F}}\iff \mathbf {x} \wedge A_{r}=0$

Toute lame $A_{r}$ caractérise donc un sous-espace vectoriel qui est alors dit sous-tendu, engendré ou dirigé par $A_{r}$.

Dans le cas particulier où ${\mathcal {V}}$ est de dimension finie, il vient:

$\mathbf {a} \in {\mathcal {V}}\iff \mathbf {a} \wedge I=0$

Identité de Jacobi

$A\times (B\times C)=(A\times B)\times C+B\times (A\times C)$

Structures remarquables

Algèbre associative

Une algèbre géométrique est une algèbre associative.

Le critère de contraction impliquant que $\mathbb {K} \subseteq {\mathcal {G}}$, il n'est en outre pas difficile de se convaincre qu'une algèbre géométrique est aussi unitaire, l'élément neutre du produit géométrique coïncidant avec l'élément neutre de la multiplication dans le corps $\mathbb {K}$.

Espace quadratique

Il a été vu plus haut que le produit intérieur de deux vecteurs est un scalaire. Puisqu'il est en outre distributif et symétrique, il constitue une forme quadratique sur ${\mathcal {V}}$ et confère ainsi aux vecteurs de l'algèbre géométrique une structure quadratique naturelle.

Dans le cas défini précédemment comme Euclidien, il s'avère que le produit intérieur est en outre défini positif, et satisfait donc aux conditions nécessaires et suffisantes pour définir un produit scalaire, rendant ainsi la structure quadratique euclidienne, d'où le choix de l'appellation cas Euclidien. Il est facile de vérifier que dans ce cas les notions de norme et d'orthogonalité définies précédemment coïncident respectivement avec les notions de norme euclidienne et d'orthogonalité au sens euclidien.

Toujours dans le cas euclidien, il convient de s'assurer de la consistance des définitions en vérifiant que le produit intérieur de deux vecteurs coïncide avec le produit scalaire défini plus haut pour deux multivecteurs.

Théorème — Le produit intérieur de deux vecteurs est égal à leur produit scalaire

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\langle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\dagger }\rangle$

Démonstration

$\langle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\dagger }\rangle =\langle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\dagger }\rangle _{0}=\langle \mathbf {a} \mathbf {b} \rangle _{0}=\langle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \rangle _{0}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$

Algèbre extérieure

Il peut être montré que le produit extérieur définit une structure d' algèbre extérieure sur ${\mathcal {V}}$.

${\mathcal {G}}^{k}=\wedge ^{k}{\mathcal {V}}$

Le vocabulaire de l'algèbre géométrique recoupe donc celui des algèbres extérieures. Par exemple, une lame de grade $k$ est aussi appelée multivecteur de grade $k$, $k$-multivecteur ou encore $k$-vecteur.

La structure d'algèbre extérieure est responsable de la décomposition en somme directe mentionnée lors de la définition de la projection gradée:

${\mathcal {G}}=\bigoplus _{k}{\mathcal {G}}^{k}=\bigoplus _{k}\wedge ^{k}{\mathcal {V}}$

Le produit extérieur étant défini de façon unique par le produit géométrique, l'algèbre géométrique peut être identifiée à son algèbre extérieure:

${\mathcal {G}}=\wedge {\mathcal {V}}$

Sous-algèbres complexes

Il est facile de vérifier que le carré de tout bivecteur unitaire $\mathbf {\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}}$ construit à partir de deux vecteurs de signatures identiques, est égal à -1:

$\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}^{2}=1\implies (\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2})^{2}=-1$

Dès lors, il n'est pas difficile de se convaincre que la sous-algèbre générée par le couple $(1,\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2})$ est un corps isomorphe au corps des nombres complexes. Cet isomorphisme justifie alors la notation:

$i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}$

de telle sorte qu'on a:

$i^{2}=-1$

Ce résultat peut en fait être généralisé à toutes les lames unitaires dont le carré est égal à -1. Elles génèrent chacune avec la lame unitaire de grade nul un corps isomorphe au corps des complexes. C'est par exemple le cas pour le pseudo-scalaire unitaire dans le cas Euclidien de dimension 3:

$I^{2}=-1$

Une lame unitaire de grade un, c'est-à-dire un vecteur unitaire, peut aussi engendrer un corps isomorphe au corps des complexes. Il faut et suffit pour cela que sa signature soit négative. C'est notamment le cas lorsque la structure quadratique n'est pas Euclidienne, mais Lorentzienne. Par ailleurs, lorsqu'il existe au moins deux vecteurs de signatures différentes, il est possible de construire un bivecteur unitaire $j$ tel que $j^{2}=+1$, et la sous-algèbre qu'il engendre avec l'unité est alors isomorphe au corps des nombres complexes déployés, donnant au sous-espace correspondant une structure géométrique hyperbolique.

Algèbre de Lie

Il peut être montré que ${\mathcal {G}}^{2}$ est stable par l'action du produit commutateur. À ce titre, et compte tenu de l'identité de Jacobi, il forme une algèbre de Lie.

Inversibilité

Une algèbre géométrique hérite de sa structure d'algèbre associative la notion d'inverse. Comme le produit géométrique n'est pas commutatif, il faut cependant dans le cas général distinguer l' inverse à droite de l' inverse à gauche.

$AA^{-1_{\mathrm {D} }}=A^{-1_{\mathrm {G} }}A=1$

Vecteurs

Théorème — Tout vecteur non nul de ${\mathcal {V}}$ est inversible et d'inverse bilatère unique:

$\mathbf {a} ^{-1}={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {a} ^{2}}}$

Démonstration

Il s'agit d'une conséquence directe du critère de contraction

Verseurs

Il est facile de se convaincre que les verseurs, comme les vecteurs, sont inversibles d'inverse unique:

$A^{-1}={\frac {A^{\dagger }}{A^{\dagger }A}}$

Règle de deMorgan

$(A\vee B)^{\sim }={\widetilde {A}}\wedge {\widetilde {B}}$

Lien avec le produit vectoriel

Le produit extérieur $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ n'est ni un scalaire, ni un vecteur : c'est un bivecteur, qui sera identifié plus tard comme le dual du vecteur issu du produit vectoriel. La différence entre les deux opérations étant que le bivecteur fourni par le produit extérieur est intrinsèque au plan des deux vecteurs, tandis que le produit vectoriel est noté comme un pseudovecteur perpendiculaire à ce plan.

Le produit extérieur de deux vecteurs peut être vu comme une aire orientée.

Bivecteurs unitaires

Un bivecteur unitaire $s$ est le produit géométrique de deux vecteurs orthonormés que l'on peut, sans perdre en généralité, considérer comme les deux premiers vecteurs d'une base orthonormée $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots )$:

$s=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}$

L'orthonormalité de $\mathbf {e} _{1}$ et $\mathbf {e} _{2}$ donne, entre autres:

$s=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}$

Le caractère remarquable de $s$ provient du fait que le produit géométrique par $s$ laisse stable l'espace vectoriel généré par $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})$), et défini même une transformation linéaire (ou plus précisément deux transformations linéaires, selon que la multiplication a lieu à droite ou à gauche), permettant ainsi une interprétation géométrique directe:

${\begin{aligned}(\alpha \mathbf {e} _{1}+\beta \mathbf {e} _{2})s=&(\alpha \mathbf {e} _{1}^{2})\mathbf {e} _{2}&-(\beta \mathbf {e} _{2}^{2})\mathbf {e} _{1}\\s(\alpha \mathbf {e} _{1}+\beta \mathbf {e} _{2})=&(-\alpha \mathbf {e} _{1}^{2})\mathbf {e} _{2}&+(\beta \mathbf {e} _{2}^{2})\mathbf {e} _{1}\end{aligned}}$

Le point important ici étant que $\mathbf {e} _{1}^{2}$ et $\mathbf {e} _{2}^{2}$ sont scalaires du fait du critère de contraction.

Le carré de $s$ est:

$s^{2}=-\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}^{2}$

Il est nécessairement scalaire en tant que produit de deux scalaires. Il est négatif si $\mathbf {e} _{1}$ et $\mathbf {e} _{2}$ ont la même signature, et positif dans le cas contraire. Le comportement algébrique (et géométrique dans le plan $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})$) de $s$ est radicalement différent dans les deux cas.

Cas de signatures identiques

Lorsque $\mathbf {e} _{1}$ et $\mathbf {e} _{2}$ ont la même signature, on a la propriété importante $s^{2}=-\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}^{2}=-1$, c'est-à-dire:

$s^{2}=-1$

$s$ engendre alors avec l'unité une sous-algèbre isomorphe au corps des complexes, comme vu plus haut. Ceci suggère d'utiliser dorénavant la lettre $i$ au lieu de $s$ dans cette section.

On aura également les relations suivantes (on considère ici $\mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=1$, le cas $\mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=-1$ donnant un résultat analogue):

${\begin{aligned}i\mathbf {e_{1}} &=-\mathbf {e_{2}} \\i\mathbf {e_{2}} &=\mathbf {e_{1}} \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathbf {e_{1}} i&=\mathbf {e_{2}} \\\mathbf {e_{2}} i&=-\mathbf {e_{1}} \end{aligned}}$

C'est-à-dire que la multiplication par $i\,$ tourne toute combinaison linéaire de $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})$ d'un quart de tour, dans un sens qui dépend de si la multiplication est effectuée à gauche ou à droite. On peut s'assurer du fait que la rotation est d'un quart de tour par exemple en remarquant que 4 est le plus petit entier $k$ tel que $i^{k}=1$.

Cas de signatures différentes

Lorsque $\mathbf {e} _{1}$ et $\mathbf {e} _{2}$ ont une signature différente (admettons par exemple, pour fixer les idées, que $\mathbf {e} _{1}^{2}=1$ et $\mathbf {e} _{2}^{2}=-1$), on a $s^{2}=-\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}^{2}=1$, c'est-à-dire:

$s^{2}=1$

La multiplication par $s$ intervertit $\mathbf {e} _{1}$ et $\mathbf {e} _{2}$:

$\mathbf {e} _{1}s=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}^{2}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{2}$

$\mathbf {e} _{2}s=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}^{2}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{1}$

c'est-à-dire:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}s&=\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{2}s&=\mathbf {e} _{1}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}s\mathbf {e} _{1}&=-\mathbf {e} _{2}\\s\mathbf {e} _{2}&=-\mathbf {e} _{1}\end{aligned}}$

La multiplication par $s$ agit donc dans le plan $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})$ comme une réflexion dont l'axe est l'une des bissectrices des droites dirigées par $\mathbf {e} _{1}$ et $\mathbf {e} _{2}$, le choix de la bissectrice dépendant de si la multiplication a lieu à droite ou à gauche.

Le fait que $s^{2}=1$ est consistant avec le caractère involutif des réflexions.

Interprétation géométrique

Multiplication par un verseur

Sauf mention contraire, on se limitera à partir d'ici au cas de signatures positives.

Cas de vecteurs unitaires

Le produit géométrique d'une paire de vecteurs unitaires $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\,(|\mathbf {a} |=|\mathbf {b} |=1)\,$ génère un verseur $U$ appelé tourneur.

$U=\mathbf {ab}$

La direction relative des deux vecteurs est complètement caractérisée par l'arc orienté qui les relie, il est donc possible d'interpréter $U$ comme une représentation de cet arc. Le nom tourneur est justifié par le fait que $U$ transforme $\mathbf {a}$ et $\mathbf {b}$ l'un envers l'autre par rotation.

$\mathbf {b} =\mathbf {a} U$

$\mathbf {a} =U\mathbf {b}$

Dans une base orthonormée $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots )$ telle que

$\mathbf {a} =\mathbf {e} _{1}$

$\mathbf {b} =\cos(\theta )\mathbf {e} _{1}+\sin(\theta )\mathbf {e} _{2}$

il vient :

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=\cos(\theta )\\\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} &=i\sin(\theta )\end{aligned}}$

où $i$ est le bivecteur unitaire:

$i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }{\sin(\theta )}}={\frac {U-\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}$

Il est alors possible d'écrire  :

$U=U_{\theta }=\mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\cos(\theta )+i\sin(\theta )=e^{i\theta }$

C'est-à-dire:

$U_{\theta }=e^{i\theta }$

Lorsqu'on multiplie (par exemple à gauche) ce tourneur par un vecteur $\mathbf {x} (\phi )$ tel que:

$\mathbf {x} (\phi )=\cos(\phi )\mathbf {e} _{1}+\sin(\phi )\mathbf {e} _{2}$

on obtient, par application des identités trigonométriques ainsi que des règles algébriques d'orthonormalité de $\mathbf {e} _{1}$ et $\mathbf {e} _{2}$:

${\begin{aligned}\mathbf {x} (\phi )U_{\theta }&=\mathbf {x} (\phi )e^{i\theta }\\&=(\cos(\phi )\mathbf {e} _{1}+\sin(\phi )\mathbf {e} _{2})(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))\\&=\cos(\phi )\mathbf {e} _{1}\cos(\theta )+\sin(\phi )\mathbf {e} _{2}\cos(\theta )+\cos(\phi )\mathbf {e} _{1}i\sin(\theta )+\sin(\phi )\mathbf {e} _{2}i\sin(\theta )\\&=(\cos(\phi )\cos(\theta )-\sin(\phi )\sin(\theta ))\mathbf {e} _{1}+(\cos(\theta )\sin(\phi )+\cos(\phi )\sin(\theta ))\mathbf {e} _{2}\\&=\cos(\phi +\theta )\mathbf {e} _{1}+\sin(\phi +\theta )\mathbf {e} _{2}\\&=\mathbf {x} (\phi +\theta )\end{aligned}}$

Le vecteur $\mathbf {x} (\phi )$ a donc bien « tourné » d'un angle $\theta$. Un calcul similaire montrerait qu'une multiplication à droite fait tourner $\mathbf {x} (\phi )$ d'un angle $-\theta$.

En résumé:

${\begin{aligned}\mathbf {x} (\phi )U_{\theta }&=\mathbf {x} (\phi +\theta )\\U_{\theta }\mathbf {x} (\phi )&=\mathbf {x} (\phi -\theta )\end{aligned}}$

Le produit géométrique de deux vecteurs unitaires représente donc bien une rotation.

Il y a une analogie entre tourneur et vecteur.

Une composition de rotation s'exprimera par le produit de deux tourneurs:

$U_{\theta }U_{\varphi }=U_{\theta +\varphi }$

Il est utile d'observer que:

$U_{\varphi }\mathbf {x} (\phi )U_{\psi }=U_{\varphi }\mathbf {x} (\phi +\psi )=\mathbf {x} (\phi +\psi -\varphi )$

et que donc, pour $\varphi =-\theta /2$ et $\psi =\theta /2$:

$U_{-{\frac {\theta }{2}}}\mathbf {x} (\phi )U_{\frac {\theta }{2}}=\mathbf {x} (\phi +\theta )$

Ceci constitue la formulation dite canonique de la rotation d'angle $\theta$.

Cas général

On considère désormais un couple de vecteurs $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ non nécessairement unitaires, mais non nuls et non colinéaires. Les résultats précédents peuvent être généralisés en considérant le couple:

$(\mathbf {\tilde {a}} ,\mathbf {\tilde {b}} )=({\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |}},{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}})$

Il est facile de se convaincre que $\mathbf {\tilde {a}}$ et $\mathbf {\tilde {b}}$ sont, eux, unitaires, et ont les mêmes signatures que $\mathbf {a}$ et $\mathbf {b}$. Ils sont aussi séparés par un même angle $\theta$, de telle sorte que le tourneur $\mathbf {\tilde {a}} \mathbf {\tilde {b}}$ s'écrit:

$\mathbf {\tilde {a}} \mathbf {\tilde {b}} =e^{i\theta }$

où

$i={\frac {\mathbf {\tilde {a}} \wedge \mathbf {\tilde {b}} }{\sin(\theta )}}$

Le produit géométrique peut donc s'écrire:

$\mathbf {a} \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |e^{i\theta }$

tandis que le bivecteur unitaire $i$ peut s'écrire:

$i={\frac {\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )}}$

Il a été vu précédemment que l'ensemble des multivecteurs générés par les combinaisons linéaires et produits géométriques de $1$ et $i$ forme un corps isomorphe au corps des nombres complexes. Ceci justifie l'emploi d'un vocabulaire et de notations analogues.

Ainsi, si l'on note $z\,$ le produit $\mathbf {a} \mathbf {b}$, le scalaire

$|z|=|\mathbf {a} \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |$

est ce qu'on appelle le module de $z$. Il s'agit d'une notion très différente de la norme (ou magnitude) évoquée plus haut, car cette dernière n'est définie que pour les vecteurs, et $z$ n'est pas un vecteur.

Tout comme un nombre complexe peut être décomposé en une partie réelle et une partie imaginaire, un produit géométrique peut être décomposé en deux parties qui ne sont ni plus ni moins que les produits intérieur et extérieur, qu'on peut aussi appeler symétrique et antisymétrique, ou encore scalaire et bivectoriel.

${\begin{aligned}z&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &+&\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \\&=|z|\cos(\theta )&+&|z|i\sin(\theta )\end{aligned}}$

De la même façon, $\theta$ peut être appelé argument de $z$.

$z$ peut être interprété géométriquement comme l'arc orienté d'un cercle de rayon $z$.

Le conjugué de $z$ est le multivecteur de même partie scalaire mais de composante bivectorielle opposée:

$z^{\dagger }=(\mathbf {ab} )^{\dagger }=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \wedge \mathbf {a} =\mathbf {ba}$

Le conjugué d'un produit géométrique apparaît donc comme le produit géométrique effectué en ordre inverse:

$(\mathbf {ab} )^{\dagger }=\mathbf {ba}$

Ce fait peut être utilisé pour calculer le module du produit géométrique $z$.

$|zz^{\dagger }|=|\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {b} \mathbf {a} |=|\mathbf {a} ^{2}\mathbf {b} ^{2}|=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}=|z|^{2}$

autrement dit:

$|z|={\sqrt {|zz^{\dagger }|}}$

Les produits géométriques peuvent être utilisés directement sur les vecteurs :

$\mathbf {b} =\mathbf {a} ^{-1}z=z^{\dagger }\mathbf {a} ^{-1}$

avec l'inverse du vecteur $\mathbf {a}$ donné par

$\mathbf {a} ^{-1}={\frac {1}{\mathbf {a} }}={\frac {\mathbf {a} }{\mathbf {a} ^{2}}}={\frac {\mathbf {a} }{|\mathbf {a} |^{2}}}$

Ici, le produit géométrique $z$ opère une rotation sur le vecteur $\mathbf {a}$, le met à l'échelle pour donner le vecteur $\mathbf {b}$ (c'est une similitude).

Espace euclidien de dimension 3

Soit l'espace vectoriel euclidien ${\mathcal {P}}^{3}$. Par multiplication et addition, les vecteurs engendrent une algèbre géométrique ${\mathcal {G}}_{3}={\mathcal {G}}\left({\mathcal {P}}^{3}\right)$. En particulier, une base pour l'algèbre géométrique peut être générée par l'ensemble des vecteur orthonormés $\lbrace \mathbf {\sigma _{1}} ,\mathbf {\sigma _{2}} ,\mathbf {\sigma _{3}} \rbrace$

À l'aide du produit géométrique, un trivecteur unique (un pseudoscalaire) peut être défini :

$i=\mathbf {\sigma _{1}} \mathbf {\sigma _{2}} \mathbf {\sigma _{3}}$

L'unité pseudoscalaire i représente un volume orienté.

On a également la base de bivecteurs suivante

$\mathbf {\sigma _{1}} \mathbf {\sigma _{2}} =i\mathbf {\sigma _{3}} ,\,\mathbf {\sigma _{2}} \mathbf {\sigma _{3}} =i\mathbf {\sigma _{1}} ,\,\mathbf {\sigma _{3}} \mathbf {\sigma _{1}} =i\mathbf {\sigma _{2}}$

Les bivecteurs unités représentent des aires orientées.

Le pseudoscalaire i a des propriétés spéciales qui facilitent le passage entre l'espace vectoriel Euclidien et l'algèbre géométrique. On a :

$i^{2}=-1$

Tout bivecteur $\mathbf {B}$ de ${\mathcal {G}}_{3}$ est le dual d'un vecteur $\mathbf {b}$ en considérant la relation :

$\mathbf {B} =i\mathbf {b} =\mathbf {b} i$

Ainsi l'opération de dualité géométrique est simplement exprimée par la multiplication par le pseudoscalaire i. Cela permet d'écrire le produit extérieur sous cette forme :

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =i\mathbf {a} \times \mathbf {b}$,

$\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ étant le « cross-product anglo-saxon », qui correspond au produit vectoriel dans la littérature scientifique française, lequel produit vectoriel est malencontreusement noté $\wedge \,$ comme le produit extérieur. Le produit vectoriel est ainsi implicitement défini comme le dual du produit extérieur. Par conséquent, la décomposition canonique du produit géométrique peut être mis sous la forme :

$\mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i\mathbf {a} \times \mathbf {b}$

C'est grâce à cette définition que l'on pourra faire le lien entre l'algèbre géométrique et l'analyse vectorielle standard.

Les éléments dans tous les algèbres géométrique sont dénommés des multivecteurs. Les propriétés spéciales du pseudoscalaire i permettent d'écrire tout multivecteur $M$ de ${\mathcal {G}}_{3}$ dans sa forme étendue :

$M=\alpha +\mathbf {a} +i\mathbf {b} +i\beta$,

où $\alpha$ et $\beta$ sont des scalaires et où $\mathbf {a}$ et $\mathbf {b}$ sont des vecteurs. L'intérêt de cette formulation est qu'elle réduit la multiplication de multivecteurs dans ${\mathcal {G}}_{3}$ à celle des vecteurs. Les quatre termes d'un multivecteur sont linéairement indépendant, ainsi les parties scalaire, vecteur, bivecteur et pseudoscalaire des multivecteurs se combinent séparément lors d'une addition, ce qui n'est pas le cas pour la multiplication.

L'algèbre géométrique ${\mathcal {G}}_{3}$ est un espace linéaire de dimension $1+3+3+1=2^{3}=8$

La forme étendue d'un multivecteur a la structure algébrique formelle d'un « scalaire complexe » $\alpha +i\beta$ augmenté d'un « vecteur complexe » $\mathbf {a} +i\mathbf {b}$, mais toute interprétation physique repose sur la signification géométrique du pseudoscalaire i.

Correspondances

Avec les quaternions

Algèbre géométrique	Quaternions	Interprétation
1	1	scalaire
$\sigma _{2}\sigma _{3}$	-i	plan orienté yz
$\sigma _{3}\sigma _{1}$	-j	plan orienté zx
$\sigma _{1}\sigma _{2}$	-k	plan orienté xy

Avec les biquaternions

Algèbre géométrique	Biquaternions	Interprétation
1	1	scalaire
$\sigma _{1}$	i i	ligne orientée (vecteur selon l'axe x)
$\sigma _{2}$	i j	ligne orientée (vecteur selon l'axe y)
$\sigma _{3}$	i k	ligne orientée (vecteur selon l'axe z)
$\sigma _{1}\sigma _{2}$	-k	plan orienté xy (bivecteur)
$\sigma _{2}\sigma _{3}$	-i	plan orienté yz (bivecteur)
$\sigma _{3}\sigma _{1}$	-j	plan orienté zx (bivecteur)
$\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$	i	volume orienté xyz (trivecteur)

Avec l'algèbre des matrices

L'algèbre géométrique ${\mathcal {G}}_{3}$ est analogue à l'algèbre construite sur des matrice 2x2 à coefficients complexes. Cette algèbre se retrouve en Mécanique Quantique, introduite par Pauli, pour modéliser le spin des particules. Les matrices de base de cette algèbre sont l'ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :

• Pour les vecteurs :

$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

• Pour les bivecteurs :

$\sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{xy}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{yz}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{zx}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

• Pour les trivecteurs :

$\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{xyz}={\begin{pmatrix}i&0\\0&i\end{pmatrix}}$

• Pour les scalaires :

$\sigma _{0}=1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

Tout élément de ${\mathcal {G}}_{3}$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire ces 8 éléments.

Discussion

Le point distinctif de cette formulation est la correspondance naturelle entre les entités et les éléments de l'algèbre associative. Ceci provient du fait que le produit géométrique est défini en termes de produit vectoriel et produit scalaire de vecteurs comme

$\mathbf {a} \,\mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$

L'espace vectoriel original ${\mathcal {V}}$ est construit sur les nombres réels comme scalaires. Dorénavant, un vecteur est quelque chose dans ${\mathcal {V}}$ lui-même. Les vecteurs seront représentés par des symboles en minuscules grasses.

La définition et l'associativité du produit géométrique nécessitent le concept d'inverse d'un vecteur (ou division par un vecteur). Ainsi, on peut facilement établir et résoudre des équations algébriques vectorielles qui autrement seraient encombrantes à manipuler. De plus, on gagne une signification géométrique qui serait difficile à rechercher, par exemple, en utilisant les matrices. Malgré le fait que tous les éléments ne sont pas inversibles, le concept d'inversion peut être étendu aux multivecteurs. L'algèbre géométrique permet que l'on traite des sous-espaces directement, ainsi que leur manipulation. En outre, l'algèbre géométrique est un formalisme sans coordonnées.

Les objets géométriques comme $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ sont appelés des bivecteurs. Un bivecteur peut être décrit comme un segment plan (un parallélogramme, un cercle etc.) doté d'une orientation. Un bivecteur représente tous les segments planaires avec la même grandeur et direction, quel que soit l'endroit où ils se trouvent dans l'espace qui les contient. Néanmoins, une fois que soit le vecteur $\mathbf {a}$ ou $\mathbf {b}$ est signifié à partir d'un certain point préféré (e.g. dans les problèmes de physique), le plan orienté $B=\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ est déterminé sans ambiguïté.

Comme exemple significatif, bien que simple, on peut considérer un vecteur différent de zéro $\mathbf {v}$, à partir d'un point choisi comme origine, dans l'espace euclidien usuel, $\mathbb {R} ^{3}$. L'ensemble de tous les vecteurs $\mathbf {x} \wedge \mathbf {v} =B$ , $B$ désignant un bivecteur donné contenant $\mathbf {v}$, détermine une ligne $l$ parallèle à $\mathbf {v}$. Puisque $B$ est une aire orientée, $l$ est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. L'ensemble de tous les vecteurs $\mathbf {x} \cdot \mathbf {v} =s$, $s$ désignant un scalaire (réel) donné, détermine un plan P orthogonal à $\mathbf {v}$. De nouveau, P est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. Les deux morceaux d'information, $B$ et $s$, peuvent être établis indépendamment l'un de l'autre. Maintenant, quel est le vecteur $\mathbf {y}$ qui satisfait le système {$\mathbf {y} \wedge \mathbf {v} =B$, $\mathbf {y} \cdot \mathbf {v} =s$} ? Géométriquement, la réponse est claire : c'est le vecteur qui part de l'origine et aboutit à l'intersection de $l$ et P. Par l'algèbre géométrique, même la réponse algébrique est simple : $\mathbf {y} \mathbf {v} =s+B\Rightarrow \mathbf {y} =(s+B)/\mathbf {v} =(s+B)\mathbf {v}$^-1, où l'inverse d'un vecteur différent de zéro est exprimé par $\mathbf {z}$^-1 $=\mathbf {z} /(\mathbf {z} \cdot \mathbf {z} )$.

Note : La division par un vecteur transforme le multivecteur $s+B$ en une somme de deux vecteurs. De plus, la structure de la solution ne dépend pas de l'origine choisie.

Tel qu'il est défini, le produit externe (ou produit extérieur, ou produit vectoriel) $\wedge$ engendre l'algèbre graduée (algèbre extérieure de Hermann Grassmann) $\wedge ^{n}{\mathcal {V}}_{n}$ des multivecteurs. Un multivecteur est ainsi une somme directe d'éléments de degré k (k-vecteurs), où k va de 0 (scalaires) à n, la dimension de l'espace vectoriel original ${\mathcal {V}}$. Les multivecteurs sont représentés ici par les majuscules grasses. Note : Les scalaires et les vecteurs deviennent des cas particuliers de multivecteurs (« 0-vecteurs » et « 1-vecteurs », respectivement).

La règle de contraction

La connexion entre les algèbres de Clifford et les formes quadratiques provient de la propriété de contraction. Cette règle donne aussi à l'espace une métrique définie par le produit interne naturellement dérivé. Également, dans l'algèbre géométrique dans toute sa généralité, il n'existe pas une quelconque restriction sur la valeur du scalaire, il peut être négatif, même zéro (dans ce cas, la possibilité d'un produit interne est éliminée si vous demandez $\langle x,x\rangle \geq 0$).

La règle de contraction peut être mise sous la forme :

$Q(\mathbf {a} )=\mathbf {a} ^{2}=\epsilon _{a}{\Vert \mathbf {a} \Vert }^{2}$

où $\Vert \mathbf {a} \Vert$ est le module du vecteur a et $\epsilon _{a}=0,\,\pm 1$ est appelé la signature du vecteur a. Ceci est particulièrement utile dans la construction de l'espace de Minkowski (l'espace-temps de la relativité) via $\mathbb {R} _{1,3}\,$. Dans ce contexte, les vecteurs nuls sont appelés vecteurs de lumière, les vecteurs à signature négative sont appelés vecteurs d'espace et les vecteurs à signature positive sont appelés vecteurs de temps (ces deux dernières dénominations sont échangées lorsqu'on utilise $\mathbb {R} _{3,1}$ à la place).

Produits intérieur et extérieur

Le produit scalaire usuel et le produit vectoriel de l'algèbre vectorielle traditionnelle (sur $\mathbb {R} ^{3}\,$) trouvent leurs places dans l'algèbre géométrique ${\mathcal {G}}_{3}\,$ comme le produit interne

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {a} )$

(qui est symétrique) et le produit externe

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {b} \mathbf {a} )$

avec

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-i(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )$

(qui est antisymétrique). La distinction entre vecteurs axiaux et polaires, obscure en algèbre vectorielle, est naturelle en algèbre géométrique, où elle s'exprime comme la distinction entre vecteurs et bivecteurs (éléments de degré deux). Le $i$ ici est l'unité pseudoscalaire du 3-espace euclidien, qui établit une dualité entre les vecteurs et les bivecteurs, et est nommé ainsi à cause de la propriété prévue $i^{2}=-1\,$.

Alors que le produit vectoriel peut seulement être défini dans un espace à trois dimensions, les produits interne et externe peuvent être généralisés à n'importe quelle dimension.

Soient $\mathbf {a} ,\,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }$ un vecteur et un multivecteur homogène de degré k. Leur produit interne est alors : $\mathbf {a} \cdot \mathbf {A} _{\langle k\rangle }={1 \over 2}\,\left(\mathbf {a} \,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }+(-1)^{k+1}\,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }\,\mathbf {a} \right)=(-1)^{k+1}\mathbf {A} _{\langle k\rangle }\cdot \mathbf {a}$ et leur produit externe est

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {A} _{\langle k\rangle }={1 \over 2}\,\left(\mathbf {a} \,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }-(-1)^{k+1}\,\mathbf {A} _{\langle k\rangle }\,\mathbf {a} \right)=(-1)^{k}\mathbf {A} _{\langle k\rangle }\wedge \mathbf {a}$

Applications

Relativité restreinte et électromagnétisme

Un exemple utile est $\mathbb {R} _{3,1}$, et la façon dont il engendre ${\mathcal {G}}_{3,1}$, un exemple d'algèbre géométrique qu'Hestenes appelle algèbre de l'espace-temps. Cette algèbre est dotée d'une base de vecteurs le plus souvent notés $(\mathbf {\gamma } _{0},\mathbf {\gamma } _{1},\mathbf {\gamma } _{2},\mathbf {\gamma } _{3})$ telle que :

$\mathbf {\gamma } _{0}^{2}=-1,\qquad \mathbf {\gamma } _{1}^{2}=\mathbf {\gamma } _{2}^{2}=\mathbf {\gamma } _{3}^{2}=+1$

$(\mathbf {\gamma } _{1},\mathbf {\gamma } _{2},\mathbf {\gamma } _{3})$ constitue une base orthonormée de l'espace euclidien usuel. $\mathbf {\gamma } _{0}$ est quant à lui le vecteur séparant deux événements d'une unité de temps.

Le champ électromagnétique, dans ce contexte, s'avère être un champ bivectoriel pour lequel les champs électriques et magnétiques caractérisent les parties respectivement spatio-temporelles (c'est à dire contenant la direction temporelle) et purement spatiales (bivecteurs dirigés par deux directions de l'espace usuel):

$F=(\mathbf {E} +i\mathbf {B} )\mathbf {\gamma } _{0}$

ou, de façon plus détaillée:

${\begin{aligned}F&=(\mathbf {E} +\mathbf {\gamma } _{0}\mathbf {\gamma } _{1}\mathbf {\gamma } _{2}\mathbf {\gamma } _{3}\mathbf {B} )\mathbf {\gamma } _{0}\\&=\mathbf {E} \mathbf {\gamma } _{0}-\mathbf {B} \mathbf {\gamma } _{1}\mathbf {\gamma } _{2}\mathbf {\gamma } _{3}\\&=E^{k}\mathbf {\gamma } _{k}\mathbf {\gamma } _{0}-B^{k}\mathbf {\gamma } _{k}\mathbf {\gamma } _{1}\mathbf {\gamma } _{2}\mathbf {\gamma } _{3}\\&=E^{k}\mathbf {\gamma } _{k}\mathbf {\gamma } _{0}-(B^{1}\mathbf {\gamma } _{2}\mathbf {\gamma } _{3}+B^{2}\mathbf {\gamma } _{3}\mathbf {\gamma } _{1}+B^{3}\mathbf {\gamma } _{1}\mathbf {\gamma } _{2})\end{aligned}}$

Il peut alors être montré que les équations de Maxwell traduisent le fait que le quadrivecteur courant $J=\rho \mathbf {\gamma } _{0}+\mathbf {j}$ dérive de ce champ bivectoriel:

$\nabla F=J$

$\nabla$ désigne ici le gradient au sens de l’algèbre géométrique, c'est à dire tel que définit plus haut: $\nabla =\mathbf {\gamma } ^{\mu }\partial _{\mu }$. L'expression détaillée de cet opérateur requiert le calcul de $\mathbf {\gamma } ^{0}$. Comme par définition $\mathbf {\gamma } ^{0}\cdot \mathbf {\gamma } _{0}=1$, il est facile de se convaincre que $\mathbf {\gamma } ^{0}=-\mathbf {\gamma } _{0}$, de telle sorte que $\nabla$ s'écrit:

$\nabla =-\mathbf {\gamma } _{0}\partial _{0}+\mathbf {\gamma } _{1}\partial _{1}+\mathbf {\gamma } _{2}\partial _{2}+\mathbf {\gamma } _{3}\partial _{3}$

La force de Lorentz s'écrit quant à elle $qu\cdot F$, où $q$ et $\mathbf {u}$ sont la charge électromagnétique et la quadrivitesse, de telle sorte que l'équation du mouvement s'écrit, en considérant la quadri-impulsion $\mathbf {p}$:

${\frac {d}{d\tau }}\mathbf {p} =q\mathbf {u} \cdot F$

Les accélérations dans cet espace métrique lorentzien ont la même expression $e^{\mathbf {\beta } }$ que la rotation dans l'espace euclidien, où $\mathbf {\beta }$ est bien sûr le bivecteur engendré par le temps et les directions d'espace impliquées, considérant dans le cas euclidien que c'est le bivecteur engendré par les deux directions d'espace, renforçant l'« analogie » de la quasi-identité.

Infographie

En 2014, il existe au moins une compagnie utilisant l'algèbre géométrique en infographie, et plus particulièrement dans l'industrie du jeu vidéo. Il s'agit de Geomerics (en), fondée en 2005 notamment par Chris DoranChris Doran, docteur en physique. Doran a déclaré avoir fondé Geomerics précisément dans le but de trouver d'autres manières d'attirer l'attention de la communauté scientifique vers les méthodes de l'algèbre géométrique.

En mars 2014, la société Unity technologies (en) a entamé une collaboration avec Geomerics pour l'intégration de leur moteur de rendu d'illumination globale en temps réel au sein de la cinquième version du moteur Unity.

Voir aussi

• Algèbre de Clifford
• Analyse géométrique
• Produit extérieur

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Geometric algebra » (voir la liste des auteurs).
• (en) W. E. Baylis, éd., C
• (en) Geometric Algebra and its Application to Mathematical Physics[PDF], Chris Doran
• (en) Geometric Algebra for Electrical and Electronic Engineers, IEEE digital library
• (en) Electromagnetism using Geometric Algebra versus Components