Aire (géométrie)

La superficie du carré vaut ici 4.

L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent cette mesure par le terme « surface » lui-même (par exemple, on parle de la « surface d'un appartement » alors qu'il faudrait parler de sa superficie). Le terme aire (du bas latin aera, espace plan) est utilisé en mathématiques, alors que superficie lui est préféré dans les autres domaines.

En pratique, la superficie est utilisée pour déterminer les prix d'un appartement, le rendement d'un terrain agricole ou la quantité de peinture à utiliser pour colorer une surface. L'unité d'aire, dans le système international d'unités est le mètre carré (m²), bien que l'hectare (1 ha = 10 000 m²) lui soit souvent préféré pour les terrains.

La détermination de la surface de terrains agricoles puis de figures abstraites a été à l'origine de la géométrie et un moteur important du développement de cette science et des mathématiques en général.

Du point de vue mathématique, l'aire d'une surface est un nombre réel positif qui répond à des propriétés d'additivité (si on partage une surface, la somme des aires de chaque morceau est égale à la surface initiale) et de conservation par des isométries (déplacer une surface ne modifie pas son aire). L'aire des surfaces complexes est déterminée à l'aide de ces propriétés et du fait que l'aire d'un carré de côté 1 est égale à 1 à l'aide d'un raisonnement par découpage et recollement éventuellement complété par un passage à la limite ou d'autres méthodes, comme le calcul intégral.

Propriétés

La superficie S d'une surface suit quatre propriétés :

1. La superficie d'une surface est un nombre positif ou nul.
2. Une unité de longueur étant choisie, la superficie du carré de côté 1 est égale à 1.
3. La superficie est additive. Cela signifie que, les superficies de deux surfaces disjointes A et B étant données, la superficie de leur union est la somme de leurs superficies :

   S(A ∪ B) = S(A) + S(B).

   Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont les aires additionnées redonnent l'aire de départ.

4. La superficie est invariante par isométrie. Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie sa superficie.

La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel n supérieur à deux quelconque : si A₁, A₂, ... A_n sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives S(A₁), S(A₂), ... S(A_n), alors

S(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪A_n) = S(A₁) + S(A₂) + ... + S(A_n)

ce qui se note plus rigoureusement :

$S\left(\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}S(A_{k}).$

Mais cette propriété d'additivité finie ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (voir plus bas). Elle est donc étendue à une famille infinie dénombrable de surfaces planes (A_n)_{n∈ N^∗} deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent :

$S\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }S(A_{k}).$

On parle alors de σ-additivité (« sigma-additivité »).

Calcul de l'aire

La figure de base pour la calcul d'une aire est le carré unité, de côté 1, suivi du rectangle. À l'aide de l'aire du rectangle, il est possible de déterminer l'aire d'un triangle rectangle (vu comme un demi-rectangle) puis celle d'un triangle ou d'un polygone quelconque.

La formule de l'aire d'un disque est plus complexe à démontrer : elle nécessite le passage par une limite. L'idée d'approcher successivement une surface complexe par une suite de surfaces plus simples (en général, des rectangles ou des polygones) est fondamentale. Une surface qui peut être « correctement » approchée par des rectangles, au point qu'on puisse en déduire son aire par un calcul de limite est dite quarrable.

Dans certains cas, l'analyse vient au secours de la géométrie, lorsque les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus. Certaines aires sont égales à des intégrales qui peuvent parfois être calculées à partir de primitives d'une fonction.

D'autres cas sont plus pathologiques : les mathématiciens ont établi une théorie de la mesure pour généraliser les résultats sur les aires. Pour les fractales, les aires ne sont pas calculables — ou non satisfaisantes. La notion de dimension de Hausdorff généralise celle d'aire, pour un objet fractal plan.

Surfaces usuelles

Ci-dessous sont données les formules de calcul d'aire usuelles les plus courantes et des démonstrations, qui illustrent les raisonnements géométriques souvent utilisés pour résoudre les problèmes d'aire : découpage et recollement, parfois en imaginant une infinité de découpages par des considérations sur les limites.

Rectangle

Un rectangle longueur 5 et de largeur 4 contient 5 × 4 = 20 carrés unité. Son aire est donc égale à 20.

Aire d'un rectangle — L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur.

Démonstration

Un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales à des nombres entiers m et n peut être vu comme composé de m lignes contenant chacune n carrés unité. Son aire est donc égale à m × n.

Si les dimensions du rectangle sont des fractions ^m⁄_p et ⁿ⁄_q, on considère qu'on a « découpé » le rectangle de dimensions m et n en p parts égales, puis chacune de ces parts à nouveau en q parts égales. Le rectangle de dimensions m et n contient donc p × q fois celui de dimensions ^m⁄_p et ⁿ⁄_q. L'aire de ce dernier rectangle est donc égale à ^m⁄_p × ⁿ⁄_q.

Ce résultat se généralise au cas où la longueur et la largeur du rectangle sont des nombres réels, mais le raisonnement est plus abstrait : il nécessite un passage à la limite, en considérant que tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels.

Cas particulier du carré

Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales à un même nombre appelé côté du carré. Un carré de côté c possède une aire égale à c × c, ce qui se note c². Réciproquement, tout nombre de la forme c² (où c est positif) peut être considéré comme l'aire d'un carré de côté c, ce qui explique que c² se lit « c au carré » ou « le carré de c ».

Triangle

La formule de calcul de l'aire d'un triangle la plus courante est :

Aire d'un triangle — L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Tout triangle rectangle dont les cathètes (ou petits côtés) mesurent a et b peut être considéré comme la moitié d'un rectangle de dimensions a et b partagé en deux par une de ses diagonales. L'aire de ce triangle rectangle est donc égale à ${\frac {a\times b}{2}}$.

Plus généralement, tout triangle de hauteur d'un triangle h et de côté associé b (dans ce cas, le côté est appelé base) est la moitié d'un rectangle de dimensions h et b, ce qui donne la formule classique de calcul d'aire d'un triangle :

$A={\frac {b\times h}{2}}$

D'autres méthodes permettent de calculer l'aire d'un triangle et, par suite, de tout polygone en utilisant le fait que tout polygone peut être partagé en un nombre fini de triangles. C'est notamment en partageant un polygone régulier en triangles dont un sommet est son centre qu'on obtient les formules usuelles de calcul de l'aire d'un polygone régulier.

• 
  En accolant au triangle rectangle gris un autre triangle isométrique suivant l'hypoténuse, on obtient un rectangle.
• 
  Un triangle vu comme un demi-rectangle.
• 
  Un polygone partagé en triangles.

Disque

L'aire d'un disque de rayon R est égale à π × R ².

La démonstration de ce résultat repose sur un passage à la limite en partageant le disque en une infinité de triangles.

En considérant n points A₁, A₂, ... A_n régulièrement espacés sur un cercle de centre O et de rayon R, on obtient un polygone régulier à n côtés constitué de n triangles isocèles OA₁A₂, OA₂A₃, etc. Tous ces triangles ont une hauteur égale à R et les bases associées, pour tous ces triangles, sont égales à la distance A₁A₂. L'aire de chaque triangle est donc ¹⁄₂R × A₁A₂ et celle du polygone régulier A₁A₂...A_n est ¹⁄₂R × nA₁A₂. Lorsque le nombre n de points tend vers l'infini, le périmètre du polygone tend à se confondre avec celui du cercle dans lequel il est inscrit, donc nA₁A₂ tend vers 2πR. Ainsi, ¹⁄₂R × nA₁A₂ tend vers ¹⁄₂R × 2πR ce qui donne bien le résultat annoncé.

Approximations successives d'un disque par des polygones réguliers intérieurs, pour n allant de 3 à 10.

Intégrale

L'aire du domaine plan S est l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a ; b].

Le plan étant muni d'un repère orthonormé, pour une fonction numérique f positive et continue, l'intégrale de Riemann de f sur un intervalle [a ; b] est l'aire du domaine défini par :

• l'axe des abscisses ;
• les droites d'équation respectives x = a et x = b ;
• la graphe de la fonction f.

Cette intégrale est notée $\int _{a}^{b}f(x){\text{d}}x.$

Cette aire peut être évaluée par des méthodes numériques en approchant l'aire sous la courbe par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes notamment. Dans certains cas, un calcul de limite permet de déterminer la valeur exacte de l'intégrale, par un raisonnement semblable à celui utilisé ci-dessus pour le disque.

Un raisonnement mêlant des considérations sur les aires et du calcul différentiel permet de prouver que

$\int _{a}^{b}f(x){\text{d}}x=F(a)-F(b),$

où F est une primitive de f sur [a ; b]. Ainsi, la connaissance de primitives d'une fonction permet d'élargir l'ensemble des aires calculables par « découpage » vues précédemment.

Ainsi les raisonnements sur les aires et le calcul différentiel se nourrissent et s'enrichissent mutuellement. Les calculs d'aire ont de ce fait un retentissement sur de nombreux domaines des mathématiques, par le biais des intégrales, notamment les probabilités ou les statistiques par le calcul de la valeur moyenne d'une fonction.

Méthode de Monte Carlo

Si le calcul d'aires permet d'améliorer la connaissance de probabilités via les intégrales, la réciproque est également vraie. Soit une surface S, dont l'aire est connue, qui en contient une autre, L d'aire inconnue. La méthode de Monte-Carlo consiste à envoyer des points au hasard dans S. On dénombre alors le nombre total n_S de points et le nombre n_L qui se sont trouvés, par hasard, dans L. Il est alors probable que le rapport des aires de L et S soit proche du rapport de n_L sur n_S. La marge d'erreur sera statistiquement d'autant plus faible que le nombre de points n_S sera grand.

Problèmes classiques

Confusion entre aire et périmètre

Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.

Le périmètre est, avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques planes. Il est fréquent de confondre ces deux notions ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. Par exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'échelle 1:10 000, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la représentation par 10 000². Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. Par exemple, un rectangle possédant une aire égale à un mètre carré peut avoir comme dimensions, en mètres : 0,5 et 2 (donc un périmètre égal à 5 m) mais aussi 0,001 et 1000 (donc un périmètre de plus de 2 000 m). Proclus (V^e siècle) rapporte que des paysans grecs se sont partagés « équitablement » des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes. Or, la production d'un champ est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et donc une récolte) médiocre.

Isopérimétrie

Des yeux à la surface d'un bouillon.

L'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque. Ceci explique pourquoi, notamment, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.

Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle, c'est le polygone régulier.

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :

${\frac {4\pi a}{p^{2}}}\leq 1$

Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans, ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne.

Le problème d'isopérimétrie dans l'espace à trois dimensions consiste à chercher, le plus grand volume contenu dans une surface d'aire donnée. La réponse est la sphère, ce qui entraîne notamment la forme des bulles de savon.

Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.

Grande surface, petite surface

Surface minimale créée par un film de savon appuyé sur deux fils circulaires.

Une surface minimale est une surface de l'espace à trois dimensions qui, sous certaines contraintes, minimise l'aire au voisinage de chacun de ses points. Cela signifie qu'une petite variation de cette surface rend l'aire plus grande. Les surfaces minimales sont spontanément prises par un film de savon qui s'appuie sur un cadre car de telles surfaces minimisent également les forces exercées sur le film.

Une feuille d'arbre, large et peu épaisse.

A contrario, le problème d'obtenir, pour un volume donné, la plus figure avec la plus grande superficie possible a été posé. Une solution mathématiquement simple existe : une surface possède un volume nul. Ces formes se trouvent dans la nature : une feuille de plante verte est généralement très peu épaisse mais large, afin d'exposer la plus grande surface possible au soleil, pour favoriser la photosynthèse.

Premières étapes de la construction d'une éponge de Menger.

Une autre stratégie possible consiste à prendre une solide et à le percer d'un grand nombre de trous. Par exemple, l'éponge de Menger est construit à partir d'un cube qu'on partage trois tranches égales suivant chacune des trois dimensions. Cela donne vingt-sept cubes égaux, puis on enlève les cubes centraux. On obtient alors un nouveau solide, de volume inférieur et d'aire supérieure au précédent, constitué de vingt cubes. Puis on reprend le même procédé pour chacun de ces vingt cubes, puis à nouveau pour les cubes ainsi obtenus, etc. En répétant le procédé indéfiniment, on obtient un objet fractal qui possède une aire infinie et un volume égal à zéro, tout en ayant des dimensions (longueur, largeur, profondeur) égales à celles du cube de départ.

Histoire

Haute Antiquité

L'aire du disque rouge est proche de celle de l'octogone construit sur le tiers du carré.

Selon Hérodote, la géométrie dans l'Égypte antique prend son origine dans la nécessité de répartir équitablement les surfaces des champs cultivés après les crues du Nil. Les Égyptiens connaissaient les formules usuelles de calcul des aires des polygones et la majorité des problèmes de géométrie conservés de cette époque concernent des problèmes d'aires.

À Babylone l'aire A et le périmètre P d'un cercle étaient liés suivant la formule :

$A={\dfrac {P^{2}}{12}}$

ce qui donne une valeur de π égale à 3. En Égypte, la formule était, pour un diamètre D :

$A=\left({\dfrac {8}{9}}D\right)^{2}$

soit π = 3+¹⁄₆. Cette dernière approximation de π était probablement obtenue en inscrivant un octogone et un cercle dans un carré. La figure ci-contre illustre ce raisonnement : si le carré a pour côté le diamètre D du disque, l'octogone construit sur le tiers du côté du carré possède une aire de

${\dfrac {7}{9}}D^{2}={\dfrac {63}{81}}D^{2}$.

L'aire du disque est considérée comme légèrement supérieure à celle de l'octogone, soit

$A={\dfrac {64}{81}}D^{2}=\left({\dfrac {8}{9}}D\right)^{2}$.

La Grèce antique

• Euclide, dans ses Éléments, démontre l'identité remarquable

(a + b)² = a² + b² + 2ab

par un raisonnement sur des aires de carrés.

• Un problème d'aire a traversé les siècles, depuis au moins Anaxagore (V^e siècle av. J.-C.) jusqu'à 1882, lorsque Ferdinand von Lindemann prouve que π est un nombre transcendant : celui de la quadrature du cercle qui consiste à construire, à la règle et au compas, un carré d'aire égale à celle d'un disque donné.

• Héron d'Alexandrie (c. 100 ap. J.-C.) publie la formule permettant de calculer l'aire d'un triangle, connaissant ces trois côtés, et appelé formule de Héron. Mais cette formule était connue d'Archimède

Mathématiques arabes

Al-Khawarizmi, dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, analyse et résout les équations du second degré par des considérations géométriques sur des aires de carrés, poursuivant en cela la tradition de l'algèbre géométrique remontant à l'Antiquité.

Voir aussi

Articles connexes

• Arpentage
• Surface
• Surface spécifique
• Surface minimale
• Surface agricole utile

Bibliographie

• A. Amiot, Éléments de géométrie : rédigés d'après le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales, Paris, C. Delagrave et Cie, 1870, 428 p. (lire en ligne)
• Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, vol. 1, Montréal, Vuibert/ERPI, 1973
• Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, vol. 2, Montréal, Vuibert/ERPI, 1973
• Modèle:DahanPfeiffer
• (en) Yu. D. Burago, V.A. Zalgaller et L.D. Kudryavtsev, Encyclopaedia of Mathematics, Springer (ISBN 1402006098, lire en ligne)
  L'article Area de cette encyclopédie de mathématiques traite de ce sujet.
• Jacques Faraut, Calcul intégral, EDP Sciences Editions, coll. « Enseignement sup. Mathématiques », 2006, 196 p. (ISBN 2868839126)
• Roberto Gonzalo et Karl J. Habermann (trad. Yves Minssart), Architecture et efficacite énergetique : Principes de conception et de construction, Springer, 2008, 221 p. (ISBN 3764384514)
• Philippe Joseph, Écosystèmes forestiers des Caraïbes, Karthala Editions, 2009, 777 p. (ISBN 2811100903)
• Benoit Mandelbrot, Les objets fractals, 4e édition, Flammarion, 1995 (ISBN 978-2-08-081301-5, présentation en ligne)
• Daniel Perrin, « Aires et volumes : découpage et recollement », Euler, Académie de Versailles
• Paul Tannery, Notions de mathématiques, Notions historiques, Paris, C. Delagrave, 1903, 352 p. (lire en ligne)
• Marc Troyanov, Cours de géométrie, PPUR presses polytechniques, 2009, 358 p.
• Bernard Vitrac, « Les géomètres de la Grèce antique », CultureMath,‎ 2004 (lire en ligne)

Lien externe

Conversion d'unités de superficie