Méthode des trapèzes

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Principe de la méthode : l'aire sous la courbe représentative de f est approchée par l'aire sous une droite affine (en rouge)

En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode pour le calcul numérique d'une intégrale \int_{a}^{b} f(x)dx s'appuyant sur l'interpolation linéaire par intervalles.

Intervalle unique[modifier | modifier le code]

Le principe est d'assimiler la région sous la courbe représentative de la fonction f à un trapèze et d'en calculer l'aire :

T=(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment [a,b], l'erreur[1] est de la forme

\int_a^b f(x)\,dx -(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2} = -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)

pour un certain \xi \in [a,b]\, (méthode du premier ordre).

Dans le cas d'une fonction convexe (dérivée seconde positive), l'aire du trapèze est donc une valeur approchée par excès de l'intégrale.

Intervalles multiples[modifier | modifier le code]

Pour obtenir de meilleurs résultats, on découpe l'intervalle [a, b] en n intervalles plus petits et on applique la méthode sur chacun d'entre eux. Bien entendu, il suffit d'une seule évaluation de la fonction à chaque nœud :

\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right) + R_n(f)


R_n(f)\, est l'erreur de quadrature[1] et vaut: -\frac{(b-a)^3}{12n^2}f''(\xi) pour un \xi \in [a,b]\,

La méthode des trapèzes revient à estimer l'intégrale d'une fonction comme l'intégrale de son interpolation linéaire par intervalles.

Exemple d'approximation d'une fonction par des trapèzes[modifier | modifier le code]

Voici le découpage d'une fonction f que l'on veut intégrer sur l'intervalle [0;2]
f(x)=1.1 + \ln(e-\frac{x}{100}+\frac{3}{5}\operatorname{tanh}(\ln(x+10^{-7})+1))\cos \,x + \frac{2}{5}(x-\frac{\cos(3x)}{5})^2 \,\! \cdot \cdot \cdot + \frac{11}{100} \sqrt{2+2x} \sin (\frac{44}{25}(4+3\sqrt{x})x-\frac{19}{20}x^5)-e^{\frac{x}{3}} \,\!


Découpage pour différentes valeurs de n (2,8 et 16).
Exemple avec n=2Exemple avec n=8Exemple avec n=16

Divers théorèmes[modifier | modifier le code]

Théorème : Si f est 2 fois continûment différentiable sur [a,b], la méthode des trapèzes est convergente sur C^2([a,b]).
Théorème : La méthode des trapèzes est stable.

Lien avec les autres méthodes d'intégration[modifier | modifier le code]

La méthode des trapèzes est la première des formules de Newton-Cotes, avec 2 nœuds par intervalle. Sa rapidité de mise en oeuvre en fait une méthode très employée. Cependant, la méthode de Simpson permet une estimation plus précise d'un ordre pour un coût souvent raisonnable.

Comme tout estimateur basé sur un pas de calcul, la méthode des trapèzes est compatible avec la méthode d'accélération de convergence de Romberg.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b En analyse numérique l'erreur est par convention la différence entre la valeur exacte (limite) et son approximation par un nombre fini d'opérations. (« Il est d'usage d'entendre par erreur d'un nombre approché a la différence entre le nombre exact A correspondant et le nombre approché, Δa=A-a », B. Démidovitch et I. Maron, Éléments de calcul numérique, Mir, 1973, p. 13). L'erreur d'approximation par un polynôme de Taylor est le reste de la série de Taylor, et l'erreur de quadrature est l'aire totale sous la courbe moins la somme des aires des trapèzes (N. Bakhvalov (en), Méthodes numériques, Mir, 1973, p. 281; G. Valiron, Théorie des fonctions, 1966, Méthodes des Trapèzes, p. 224 ; P. J. Davis (en) et P. Rabinowitz (en), Methods of Numerical Integration, A.P., 1984, p. 53). En métrologie, l'erreur est définie comme la différence Valeur approchée - Valeur réelle soit l'opposé de l'erreur définie dans cet article, qui, en métrologie, porte le nom de correction (Aimé Defix, Éléments de métrologie générale et de métrologie légale, p. 72-74).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]