Nombre univers

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée. Ainsi, si l'on se donne une manière de coder un livre selon une suite de chiffres (ce qui est le cas dans un format informatique), on trouvera dans un nombre univers tous les livres déjà écrits et à venir. Mais on ne peut bien sûr pas en tirer une quelconque information : ce serait aussi efficace que de générer une succession aléatoire de lettres et de réessayer jusqu'à obtenir le livre que l'on cherche, et cela suppose de le connaître déjà lettre par lettre.

Tout nombre normal est un nombre univers, mais la réciproque est fausse : dans un nombre normal, chaque séquence apparaît une infinité de fois selon une statistique équirépartie ; dans un nombre univers, on ne garantit que l'apparition de chaque séquence, et aucune propriété statistique sur leurs fréquences relatives. Par exemple, définissons le nombre 0,10200300000040000000000000000000000005… : ses décimales sont 1, puis 1! fois 0, puis 2, puis 2! fois 0, et ainsi de suite. Ce nombre est un exemple de nombre qui, en base dix, est univers mais non normal : par construction, chaque entier naturel y est inclus à condition d'aller assez loin (c'est donc un nombre univers), mais la construction introduit un biais dans la répartition des séquences, la fréquence des zéros en particulier étant bien trop grande pour que le nombre soit normal.

Comme c'est le cas pour la quasi-totalité des nombres réels, on pense que les constantes irrationnelles « naturelles », comme $π$ et √2, sont des nombres normaux^[1] et donc des nombres univers, mais on ne sait le prouver pour aucune.

L'ensemble des réels qui sont des nombres univers en toute base remplit l'espace, à la fois au sens de la mesure de Lebesgue et au sens de Baire. En effet, son complémentaire est σ-poreux, donc à la fois négligeable et maigre^[2].

Exemples

La constante de Champernowne (0,123456789101112…) et celle de Copeland-Erdős sont des nombres normaux en base dix (et donc des nombres univers en base dix).
Le nombre réel 0,12481632641282565121024... formé par la suite {2ⁿ, n ∈ ℕ} des puissances de 2 est un nombre univers en base dix^[3].

Suite univers

Une suite univers est une suite S = {u_n, n ∈ ℕ} d'entiers naturels qui contient toute séquence finie de chiffres ; en construisant un nombre réel qui commence par « 0,... » et dont les décimales sont les chiffres des éléments de S mis bout à bout, on obtient un nombre univers.

La suite {2ⁿ, n ∈ ℕ} des puissances de 2 est une suite univers^[4].

Notes et références

↑ (en) Are the digits of Pi random?
↑ (en) C. S. Calude et T. Zamfirescu, « Most numbers obey no probability laws », Publ. Math. Debrecen, vol. 54 (Supplement),‎ 1999, p. 619-623 (lire en ligne).
↑ Gale 1998 donne une démonstration, et cite un programme de cinq lignes de Stephan Heilmayr écrit en langage Mathematica qui donne le plus petit exposant de 2 voulu quand on entre la séquence recherchée.
↑ Delahaye 1998, p. 53 et 1996, p. 105, ne donne pas de démonstration, mais il cite Stephan Heilmayr, ayant écrit « un programme de cinq lignes […] qui vous donne l'exposant de 2 voulu quand vous lui donnez la séquence. ».

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Jean-Paul Delahaye, « Les nombres univers », Pour la science, n^o 225,‎ juillet 1996, p. 104-107 (lire en ligne)
Jean-Paul Delahaye, « Les nombres-univers jouent aux combinaisons », Jeux mathématiques et mathématiques des jeux,‎ novembre 1998, p. 51-56
(en) David Gale, Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations, 1998, p. 42-43

[1] (en) Are the digits of Pi random?

[2] (en) C. S. Calude et T. Zamfirescu, « Most numbers obey no probability laws », Publ. Math. Debrecen, vol. 54 (Supplement),‎ 1999, p. 619-623 (lire en ligne).

[3] Gale 1998 donne une démonstration, et cite un programme de cinq lignes de Stephan Heilmayr écrit en langage Mathematica qui donne le plus petit exposant de 2 voulu quand on entre la séquence recherchée.

[4] Delahaye 1998, p. 53 et 1996, p. 105, ne donne pas de démonstration, mais il cite Stephan Heilmayr, ayant écrit « un programme de cinq lignes […] qui vous donne l'exposant de 2 voulu quand vous lui donnez la séquence. ».

[1]

[2]

[3]

[4]

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Entier relatif ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Nombre décimal ( $\scriptstyle \mathbb {D}$ ) Nombre rationnel ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Nombre réel ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Nombre complexe ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Octonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sédénion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{2}$ ) Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{n}$ $\scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}$ ) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique ( $\scriptstyle \mathbb {Q} _{p}$ ) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi ( $π$ ) Racine carrée de deux ( $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire ( $i$ ) Constante de Neper ( $e$ ) Aleph-zéro (ℵ₀) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini ( $\infty$ ) Chiffre significatif