Ensemble maigre

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En topologie, dans le contexte des espaces de Baire, un ensemble maigre (on dit aussi de première catégorie) est une partie d'un espace de Baire qui, en un sens technique, peut être considérée comme de taille infime.

Définition[modifier | modifier le code]

Un sous-ensemble A d'un espace topologique E est dit maigre lorsqu'il peut être inclus dans une réunion dénombrable de fermés de E qui sont tous d'intérieur vide[1].

Dit autrement[2], un sous-ensemble de E est maigre si et seulement si il est réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses dans E.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La notion est « sans intérêt » quand l'espace ambiant E n'est pas un espace de Baire. En revanche, quand E est de Baire, la définition de ces espaces fournit aussitôt la caractérisation suivante : une partie de E est maigre si et seulement si il existe un Fσ (en) d'intérieur vide dont elle est sous-ensemble. Les parties maigres sont par conséquent d'intérieur vide[1].

Il découle aussi de la définition qu'une réunion dénombrable de maigres est maigre. Cela fournit une technique rodée de preuve utilisée pour prouver qu'un certain sous-ensemble P d'un espace de Baire (non vide) E n'est pas vide : on décrit P comme intersection dénombrable d'une suite d'ensembles (Pn) et on prouve que chacun d'entre eux est de complémentaire maigre. L'ensemble P est alors lui-même de complémentaire maigre, complémentaire qui est donc d'intérieur vide, et a fortiori pas égal à E. Dès lors P ne peut être vide[1].

Si O est un ouvert de E alors toute partie maigre de O (pour la topologie induite) est maigre dans E (puisque toute partie nulle part dense de O est nulle part dense dans E).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Au sein de l'ensemble ℝ des réels, qui est un espace métrique complet et donc un espace de Baire, l'ensemble ℚ des rationnels est maigre (c'est même un Fσ maigre) puisqu'on peut le représenter comme réunion dénombrable de singletons[1]. Sur cet exemple, on constate qu'une partie maigre n'a aucune raison d'être nulle part dense dans l'espace ambiant : ici elle est au contraire dense dans ℝ.
  • On en déduit que l'ensemble ℝ \ ℚ des irrationnels n'est pas maigre : s'il l'était, sa réunion avec ℚ serait aussi maigre ; or elle est égale à ℝ qui n'est pas d'intérieur vide, donc pas maigre[1].

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d et e Laurent Schwartz, Topologie générale et analyse fonctionnelle, Hermann,‎ 1970, p. 322-323. L'expression « sans intérêt » est une citation de cette source ; d'ailleurs Schwartz ne définit le terme « ensemble maigre » qu'au sein d'un espace de Baire.
  2. James Dugundji (en), Topology, Boston, Allyn and Bacon,‎ 1966 pour cette présentation alternative de la définition. Dans cet ouvrage, il n'y a pas de restriction particulière sur l'espace topologique ambiant E.