Nombre remarquable

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En mathématiques certains nombres se distinguent des autres, jouent un rôle clef, ou apparaissent curieusement dans beaucoup de formules. Ces nombres, considérés comme importants, sont appelés nombres remarquables et portent un nom, qui est parfois celui d'un mathématicien, d'une figure géométrique, ... Certains les appellent des constantes mathématiques, bien que constante ne corresponde pas en mathématiques à une quantité ou un nombre, mais à une fonction constante. Il faut donc interpréter une constante mathématique comme un nombre particulier.

Beaucoup de nombres en mathématiques ont une signification particulière et apparaissent dans différents contextes. Par exemple, dans le théorème suivant : il existe une unique fonction holomorphe telle que

Le nombre est alors e le nombre exponentiel de un. De plus est une fonction périodique, de période , un autre nombre remarquable.

Les nombres remarquables sont typiquement des éléments du corps des nombres réels ou des complexes. En tous cas, ces nombres particuliers sont toujours définissables, et ceux existant actuellement ont une (ou plusieurs) définition rigoureuse. D'autre part, ils sont presque toujours calculables. Mais il existe des nombres remarquables pour lesquels seules des valeurs approchées grossières sont connues. Certains nombres réels remarquables, peuvent être classés en fonction de leur représentation sous forme de fraction continue.

Nous allons donner une liste de tous les nombres considérés habituellement comme remarquables, en commençant par les plus importants ceux que certains qualifient de constantes importantes et qui sont certainement les plus remarquables parce qu'ils sont souvent rencontrés dans divers domaines des mathématiques.

Remarquez que l'élévation d'un nombre au rang de nombre remarquable est assez arbitraire. Pourquoi ne pas considérer pour lequel il est certainement possible de trouver des propriétés mathématiques intéressantes ? Ou bien tout simplement n'importe quel nombre premier ?

Nous sommes contraints de faire un choix parmi tous les nombres existants.

Entiers remarquables[modifier | modifier le code]

  • 0 : élément neutre du groupe additif Z, remarquable pour son histoire ;
  • 1 : élément neutre du monoïde multiplicatif Z, première quantité identifiée ;
  • 2 : le seul nombre premier pair ;
  • Les nombres premiers ;
  • En 2013, le plus grand nombre premier connu était un nombre premier de Mersenne, 257 885 161 – 1.
  • Le plus grand couple de nombres premiers jumeaux connu (fin 2011) est 3 756 801 695 685 × 2666 669 ± 1.
  • Les nombres parfaits, qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs entiers naturels sauf lui-même. On en connait 48, dont huit inférieurs à 1021.
    • 6
    • 28
    • 496
    • 8 128
    • 33 550 336
    • 8 589 869 056
    • 137 438 691 328
    • 2 305 843 008 139 952 128
  • Le gogol, 10100 est supérieur au nombre d'atomes dans l'Univers.
  • Le nombre de Shannon, 10120, est une estimation de la complexité du jeu d'échecs.
  • Le nombre de Graham est connu pour avoir été longtemps le plus grand entier apparaissant dans une démonstration mathématique. Ses dix derniers chiffres sont 2 464 195 387.

Nombres rationnels remarquables[modifier | modifier le code]

Nombres algébriques remarquables[modifier | modifier le code]

  • La racine carrée de deux, est un nombre irrationnel, solution de l'équation . C'est peut-être le premier irrationnel à avoir été mis en évidence par les Grecs; il est égal à la longueur de la diagonale d'un carré de côté un; il intervient dans les formules donnant les volumes du tétraèdre et de l'octaèdre;
  • appelé nombre i, solution de l'équation ; à la base de la droite des imaginaires et de la définition des nombres complexes;
  • Nombre d'or : φ.
  • fait partie des nombres irrationnels qui possèdent un développement en fraction continue périodique pur.

Nombres algébriques non constructibles[modifier | modifier le code]

Nombres transcendants[modifier | modifier le code]

  • π
  • e
  • On sait qu'au moins l'un des nombres et doit être transcendant.
  • La Constante de Prouhet-Thue-Morse .

Nombres transcendants non calculables[modifier | modifier le code]

Nombres normaux[modifier | modifier le code]

  • Le nombre de Champernowne
0,1234567891011121314151617...

qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels est normal en base 10, mais il ne l'est pas dans certaines autres bases.

0,2357111317192329313741...

obtenue en concatenant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.

On ne sait pas si √2, π, ln(2) ou e sont normaux.

Nombres complexes remarquables[modifier | modifier le code]

  • Selon l'Hypothèse de Riemann, les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques actuelles.

Nombres réels au statut indéterminé[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]