Discussion:Cosinus
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Compléments souhaitables ?
[modifier le code]Ne faudrait-il pas noter que la fonction cosinus est paire ? (Cela résulte par exemple de son développement en série entière.) Ne pourrait-on pas dire aussi que, de façon générale, deux nombres réels ont le même cosinus si et seulement leur somme ou leur différence est de la forme , avec n entier rationnel ? Marvoir (discuter) 5 octobre 2017 à 09:29 (CEST)
Fait. pour la parité. La périodicité est mentionnée dans la sous-section "Réciproque", à voir si on fait une sous-section dédiée ou pas. Kelam (discuter) 5 octobre 2017 à 10:13 (CEST)
- La propriété que j'indique (deux nombres réels ont le même cosinus si et seulement leur somme ou leur différence est de la forme , avec n entier rationnel) est plus précise que la périodicité. La périodicité (modulo ) dit seulement : « si deux nombres réels sont congrus modulo , alors leurs cosinus sont égaux ». La propriété que j'indique précise l'autre cas où deux nombres réels peuvent avoir le même cosinus. Cela dit, si personne ne trouve que la propriété que j'indique mérite d'être mentionnée, je n'insisterai pas. (Je viens d'avoir eu besoin de cette propriété pour déterminer les caractères irréductibles d'un groupe diédral.) Marvoir (discuter) 5 octobre 2017 à 11:11 (CEST)
- À toutes fins utiles, la propriété que j'indique peut se déduire de la relation
- (voir article Trigonométrie) et du fait qu'un nombre réel a un sinus nul si et seulement s'il est multiple de . Marvoir (discuter) 5 octobre 2017 à 11:25 (CEST)
Périodicité
[modifier le code]L’ajout de la démonstration de Rudin (au demeurant pas très rigoureuse sous cette forme) me semble peu utile ici ; la définition par le cercle n’est pas « intuitive » mais simplement en accord avec la définition donnée, et c’est plutôt le passage aux formules d’Euler qui demande à être démontré. Qu’en pensez-vous ? Dfeldmann (discuter) 13 juin 2022 à 21:56 (CEST)
- + 1. La référence à Rudin suffit. Le jugement de valeur «intuitif» n'a pas lieu d'être.
- La préoccupation de Rudin est d'abord de définir pi comme le plus petit réel positif x0 tel que cos(x0/2)= 0 et ensuite de démontrer un certain nombre de résultats dont la périodicité de cos. Résumer la dem de Rudin en commettant, dans sa partie détaillée, une généralisation abusive (Rudin ne parle de série alternée que pour cos(2) et encadre la limite par les sommes partielles car il est assuré que, pour x = 2, la suite |un(2)| est décroissante pour n ≥ 1, mais cette décroissance n'est pas acquise pour tout x) n'a pas lieu d'être sur un article encyclopédique. HB (discuter) 14 juin 2022 à 08:59 (CEST)
Bonjour, A la réflexion, je suis d'accord pour dire que ma preuve contient des erreurs, qu'il n'est pas nécessaire de fournir une preuve détaillée (la référence à Rudin suffit comme le dit HB). Je propose de garder la phrase que j'ai écrite au début, avec la référence. Lugoin (discuter) 14 juin 2022 à 13:37 (CEST)
- Oui ; en fait, je proposerais plutôt quelque chose comme « une autre approche [que la définition géométrique] consiste à partir de la série entière de l’exponentielle, et de montrer (comme le fait Rudin) que cette fonction est périodique de période i T ». D’un autre côté, cela ne permet pas (et pour cause) d’identifier T à 2pi (sauf à se lancer dans des calculs d’intégrales).— Dfeldmann (discuter) 14 juin 2022 à 14:02 (CEST)
- Cela me va. Lugoin (discuter) 14 juin 2022 à 15:44 (CEST)