Compacité (astronomie)

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Compacité

Symbole usuel \Xi
Dimension 1 (grandeur « sans dimension »)
Unités de base SI sans unité
Grandeur intensive non
Grandeur extensive non
Expressions \Xi=\frac{R_g}{R}=\frac{GM}{Rc^2}

En astronomie, la compacité[1] d'un objet céleste est une grandeur adimensionnelle correspondant au rapport du rayon de Schwarzschild de l'objet (c'est-à-dire le rayon qu'aurait un objet de même masse s'il était un trou noir de Schwarzschild) à sa taille réelle (l'objet étant implicitement supposé plus ou moins sphérique).

La compacité d'un objet céleste exprime l'intensité du champ gravitationnel qui lui est associé. Lorsque la compacité d'un objet céleste est élevée, cet objet est dit objet compact ou ultracompact. Le champ gravitationnel qui lui est associé est dit champ gravitationnel fort[2]. Un tel objet et son champ gravitationnel ne peuvent être décrits que dans le cadre de la relativité générale. Les effets relativistes sont si importants que l'approximation des champs faibles, correspondant à la description newtonienne de la gravitation, cesse de leur être applicable.

Notation[modifier | modifier le code]

La compacité est couramment notée \Xi, symbole littéral correspondant à la lettre xi majuscule de l'alphabet grec [3].

Expressions[modifier | modifier le code]

La compacité \Xi d'un objet s'écrit[4],[5] :

\Xi=\frac{GM}{Rc^2}=\frac{\mu}{Rc^2}=\frac{R_s}{2R}=\frac{R_g}{R}

où :

Valeur[modifier | modifier le code]

La compacité \Xi d'un objet est proportionnelle à sa masse linéique, \lambda, qui correspond au rapport de sa masse M à son rayon R :

\Xi=\frac{G}{c^2}\times\frac{M}{R}=(0,742\ 565(60) \cdot 10^{-27} \ \mbox{m} \ \mbox{kg}^{-1}) \times \frac{M}{R} = (0,742\ 565(60) \cdot 10^{-27} \ \mbox{m} \ \mbox{kg}^{-1}) \times \lambda \propto \lambda.

La constante \frac{G}{c^2}=0,742\ 565(60) \times 10^{-27} \ \mbox{m} \ \mbox{kg}^{-1} est l'inverse de la compacité de Planck : \Xi_{Planck} = \frac{c^2}{G} = 1,3467 \times 10^{27} \ \mbox{kg} \ \mbox{m}^{-1}[réf. souhaitée].

Calcul rapide[modifier | modifier le code]

D'après ce qui précède, on peut déterminer la compacité \Xi_A d'un objet A en connaissant celle \Xi_B d'un objet B (référence), des rayons R_A et R_B et des masses M_A et M_B de A et B respectivement. On a alors simplement :

\Xi_A = \Xi_B \cdot \frac{M_A}{M_B} \cdot \frac{R_B}{R_A}.
  • À masse constante, la compacité est inversement proportionnelle au rayon.
  • À rayon constant, la compacité est proportionnelle à la masse.

Interprétation[modifier | modifier le code]

La compacité peut être interprétée comme le rapport de l'énergie potentielle gravitationnelle de l'objet par son énergie de masse[5] :

\Xi=\frac{GM}{Rc^2}=\frac{GM^2}{R}\times\frac{1}{Mc^2}=\frac{{|Ug|}}{{E}},

où :

  • |Ug| est la valeur absolue de l'énergie potentielle gravitationnelle ;
  • E est l'énergie de masse : E=mc^2.

Ordres de grandeur[modifier | modifier le code]

Diagramme masse-rayon mettant en évidence la compacité de différents objets célestes.

Voici la compacité de certains objets, par ordre décroissant :

Objet Masse
M (kg)
Rayon de Schwarzschild correspondant
RS (m)
Rayon réel
R (m)
Masse volumique
ρ (kg/m3)
Compacité
Ξ
Remarques
Singularité au coeur d'un trou noir quelconque \frac{2GM}{c^2} 0
Univers visible ~ 8×1053 ~ 1×1027 ~ 4×1026 (1,0±0,1)×10-26 ~ 3 Modèle utilisé : densité correspondant à la densité critique et rayon (réel) de 45 milliards d'années-lumière. Masse calculée à partir de cette densité et de ce rayon.
Trou noir de Kerr quelconque (horizon) entre 1 et 2
Trou noir de Schwarzschild quelconque \frac{2GM}{c^2} \frac{2GM}{c^2}
(horizon)
1 Le rayon de Schwartzschild d'un objet est, par définition, le rayon de l'horizon d'un trou noir de Schwartzschild de même masse. Par construction, le rayon de l'horizon d'un trou noir de Schwartzschild est donc aussi son rayon de Schwarzschild et, par suite, sa compacité vaut donc l'unité.
Étoile à neutrons ~ 1,4 masse solaire ~ 3×104 0,15
Naine blanche ~ 1 masse solaire ~ 6×106 5×10-4
Soleil 2×1030 kg
= 1 masse solaire
3×103 6,96×108 5×10-6
Voie lactée
Jupiter
Terre 6×1024 kg 0,09 6,378×106 1.5×10-8
\Xi = \frac{2 G M}{R c^2} = \frac{8 \pi G \rho_c R^2}{3 c^4}.
En remplaçant la densité critique par son expression en fonction de la constante de Hubble H, il vient
\Xi = \frac{H^2 R^2}{c^2}.
La taille de l'univers visible étant de l'ordre du rayon de Hubble c / H (voir Horizon cosmique), la compacité est de l'ordre de 1. Elle est même supérieure à 1, la taille de l'univers observable étant en réalité bien plus grande que le rayon de Hubble, l'expansion de l'Univers ayant éloigné de nous les objets célestes bien au-delà de la distance à laquelle nous les voyons. Par ailleurs, il faut noter que la taille de l'univers observable est elle-même variable, en constante expansion, son rayon augmentant par construction à la vitesse c. Le fait que la compacité de l'univers soit de l'ordre de 1 est intimement lié au fait que du fait de l'expansion de l'Univers, celui-ci possède souvent un horizon, et par certains côtés présente certaines propriétés communes avec un trou noir.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Entrée « compacité (2) », dans Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Université,‎ 2008, p. 92, en ligne sur books.google.fr
  2. Frédéric Vincent (thèse de doctorat en astronomie et astrophysique, dirigée par Guy Perrin et Éric Gourgoulhon et soutenue publiquement le 8 juillet 2011 à l'observatoire de Meudon), Étude d'effets relativistes en champ gravitationnel fort : Simulations d'observations du centre galactique par l'instrument GRAVITY, Paris, Observatoire de Paris, coll. « École doctorale Astronomie et Astrophysique d'Île-de-France », 236 p. (résumé, lire en ligne [PDF]), p. 15, lire en ligne sur hal-univ-diderot.archives-ouvertes.fr (consulté le 8 juillet 2014)
  3. Éric Gourgoulhon, Objets compacts, Paris, Observatoire de Paris, universités Paris VI, Paris VII et Paris XI, coll. « École doctorale d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France »,‎ 2001-2002, 138 p. (lire en ligne), chap. 1 (« Introduction »), p. 4
  4. (de) Entrée « Kompaktheit » dans [1] (consulté le 7 juillet 2014)
  5. a et b (en) Rémi Hakim, An Introduction to Relativistic Gravitation, Cambridge, Cambridge University Presse,‎ 1999, p. 95, lire en ligne sur Google Livres (consulté le 7 juillet 2014)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]