Rayon de Schwarzschild

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Rayon de Schwarzschild
Description de cette image, également commentée ci-après
Le rayon de Schwarzschild d'un trou noir marque la limite accessible à l'observation.
Dimension
Base SI mètre
Nature Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel
Expressions

En physique et en astronomie, le rayon de Schwarzschild est le rayon de l'horizon d'un trou noir de Schwarzschild, lequel est un trou noir dont la charge électrique et le moment cinétique sont nuls. Cela signifie qu'en dessous de ce rayon tous les photons (circulant à la vitesse de la lumière), ont (en oubliant qu'on est dans un cadre relativiste) des trajectoires elliptiques et ne peuvent s'échapper. Le demi-rayon de Schwarzschild ou rayon gravitationnel[1] est la moitié d'un rayon de Schwarzschild (pour lequel ces trajectoires sont circulaires).

Par extension, c'est une longueur intervenant dans la description relativiste du champ gravitationnel créé par une distribution de masse à symétrie sphérique.

Il peut être défini, en première approximation, comme le rayon d'une sphère à partir de laquelle la masse de l'objet est tellement compacte que la vitesse de libération est égale à la vitesse de la lumière dans le vide, de sorte que la lumière elle-même ne peut s'en échapper.

Il entre dans la définition du trou noir, modélisé par Karl Schwarzschild. En effet, si le rayon de la distribution de masse de l'objet considéré est inférieur au rayon de Schwarzschild, l'objet considéré est un trou noir dont l'horizon est la sphère de rayon égal au rayon de Schwarzschild.

Mise en évidence[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild est ainsi désigné en hommage à l'astronome allemand Karl Schwarzschild qui l'a mis en évidence, en [2], en apportant la première solution exacte à l'équation d'Einstein[3]. Cette solution, appelée métrique de Schwarzschild, correspond au champ gravitationnel extérieur à une distribution sphérique de masse dans le vide[3]. Elle s'est avérée ultérieurement décrire un trou noir.

Le rayon de Schwarzschild est une des deux singularités de la métrique[4], l'autre étant la singularité gravitationnelle.

Il est appelé rayon parce qu'il est associé à la coordonnée radiale r du système de coordonnées de Schwarzschild[5] et qu'il a la dimension d'une longueur.

Notation[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild est couramment noté [6].

Expression[modifier | modifier le code]

Il est obtenu par[6] :

où :

Le rayon de Schwarzschild est ainsi proportionnel à la masse de l'objet[7] : .

La constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le vide sont deux constantes physiques :

  •  ;
  • .

Par suite :

Et :

Dimension[modifier | modifier le code]

En analyse dimensionnelle, le rayon de Schwarzschild a la dimension d'une longueur[6] :

.

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

La valeur approchée du rayon de Schwarzschild est obtenue par :

où :

Donc, approximativement, une masse solaire correspond à 3 km de rayon et un milliard de masses solaires correspond à 20 UA de rayon (soit à peu près l’orbite d’Uranus).

Explication[modifier | modifier le code]

Pour un objet placé dans un champ de gravité d'un corps, la vitesse de libération, notée et exprimée en m/s, est obtenue par :

,

où :

  • est la constante gravitationnelle ;
  • est la masse du corps, exprimée en kilogrammes (kg) ;
  • est la distance de l'objet au centre du corps, exprimée en mètres (m).

Cette valeur s'obtient facilement en deux temps

1) On dit que, pour un satellite, il y a équilibre entre la force centrifuge et l'attraction de l'astre central de masse M : on obtient une « vitesse de satellisation » v qui est indépendante de la masse du satellite. D . v ² = G . M et v dépend de D (Voir les lois de Kepler).

2) Pour définir la vitesse de libération VL, on recherche l'énergie cinétique requise pour s'échapper de l'attraction de l'astre central. Pour ce faire on intègre, entre D et l'infini, la valeur de cette énergie cinétique à la distance D. On obtient VL2 . D = 2 . G . M . Ici non plus, la masse du satellite n'intervient pas et VL2 = 2 . vD2vD est la vitesse de satellisation à la distance D.

Considérons maintenant un objet (satellite) placé à la surface de cette sphère centrale de rayon , alors :

.

Recherchons la valeur de pour .

Il est le rayon critique prévu par la géométrie de Schwarzschild : si une étoile ou tout autre objet atteint un rayon égal ou inférieur à son rayon de Schwarzschild (qui dépend de sa masse), alors elle devient un trou noir, et tout objet s'approchant à une distance de celui-ci inférieure au rayon de Schwarzschild ne pourra s'en échapper.

Notions connexes[modifier | modifier le code]

Paramètre gravitationnel standard[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild est lié au paramètre gravitationnel standard, noté et égal au produit de la constante gravitationnelle par la masse de l'objet, soit : .

En effet, .

Masse de Planck[modifier | modifier le code]

La masse de Planck, notée , est, par définition, la masse pour laquelle le rayon de Schwarzschild et la longueur d'onde de Compton, notée , sont égaux à la longueur de Planck, notée .

Masse linéique de Planck[modifier | modifier le code]

La Masse linéique de Planck normalisée est celle d'un trou noir de Schwarzschild de diamètre quelconque.

Ce même facteur 4MG/c2 intervient dans de nombreuses autres quantités en relativité générale. Par exemple, le rayon minimal d'une orbite circulaire stable autour d'un objet est  : si un objet orbite à moins de trois rayons de Schwarzschild d'un autre, il entrera en collision avec la surface (ou sera avalé dans le cas d'un trou noir).

Définition et calcul[modifier | modifier le code]

Le terme rayon de Schwarzschild est utilisé en physique et en astronomie pour donner un ordre de grandeur de la taille caractéristique à laquelle des effets de relativité générale deviennent nécessaires pour la description d'objets d'une masse donnée. Les seuls objets qui ne sont pas des trous noirs et dont la taille est du même ordre que leur rayon de Schwarzschild sont les étoiles à neutrons (ou pulsars), ainsi que, curieusement, l'univers observable en son entier.

Les distorsions de l'espace-temps au voisinage d'un trou noir rendent le concept de distance un peu subtil. Le terme de rayon de Schwarzschild se réfère en fait au rayon que l'on associerait à un objet d'une circonférence donnée en géométrie euclidienne : il n'est pas possible de mesurer le rayon d'un trou noir en le traversant (puisque rien ne peut s'en échapper), il est par contre possible d'en mesurer la circonférence en faisant le tour sans y pénétrer.

Ce rayon est de ce fait appelé horizon du trou noir (on ne peut voir ce qui se passe à l'intérieur). Le rayon de Schwarzschild est proportionnel à la masse de celui-ci. La détermination du rayon de Schwarzschild utilise la définition de la vitesse de libération appliquée à la vitesse la lumière : L'énergie cinétique d'un corps en orbite autour du trou noir est donnée par et son énergie potentielle par , où est la constante de gravitation, la masse du trou noir, la masse du corps, sa vitesse et leur distance. Si l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie cinétique, le corps en orbite ne peut pas s'échapper. En égalisant ces énergies dans le cas d'un corps se déplaçant à la vitesse de la lumière, on obtient :

est le rayon de Schwarzschild en mètres, la masse du Soleil et la vitesse de la lumière. Toute particule (y compris la lumière) se trouvant à une distance inférieure à du trou noir ne peut pas avoir suffisamment d'énergie cinétique pour se libérer de son influence. La valeur exacte de ce rayon est modifiée dans le cas où l'objet considéré possède une charge électrique non nulle ou un moment cinétique. En pratique, seul le moment cinétique joue un rôle, la charge électrique étant négligeable dans toutes les configurations où des trous noirs sont produits, mais dans tous les cas, le rayon de Schwarzschild exprimé en kilomètres est de l'ordre de trois fois la masse de l'objet considéré exprimée en masses solaires.

Rayon de Schwarzschild des objets astronomiques[modifier | modifier le code]

Du fait de la petitesse de la quantité dans les unités usuelles, le rayon de Schwarzschild d'un objet astrophysique est très petit : pour la masse de la Terre, il est de seulement 8,9 millimètres. Puisque le rayon moyen de la Terre est d'environ 6 370 kilomètres, la Terre devrait être comprimée jusqu'à atteindre fois sa densité actuelle avant de pouvoir s'effondrer en un trou noir. La masse volumique de l'objet ainsi formé soit g/cm3 serait très supérieure à celle du noyau des atomes (valeur typique g/cm3). Il n'est pas facile de former des trous noirs de faible masse.

Un trou noir stellaire typique a un rayon qui se compte en dizaines de kilomètres. Pour un objet de la masse du soleil, le rayon de Schwarzschild est d'environ 2,95 kilomètres, ce qui est bien inférieur aux 700 000 kilomètres du rayon actuel du Soleil. Le rayon de Schwarzschild du Soleil est également sensiblement plus petit que le rayon que le Soleil aura après avoir épuisé son carburant nucléaire, soit plusieurs milliers de kilomètres quand il sera devenu une naine blanche. Des étoiles plus massives peuvent cependant s'effondrer en trous noirs à la fin de leur vie. Dans le cas d'un trou noir supermassif, du genre de ceux que l'on trouve au centre de nombreuses galaxies, le trou noir a une masse de quelques millions à plusieurs milliards de masses solaires, pour un rayon de plusieurs millions à plusieurs milliards de kilomètres, soit moins que la taille de l'orbite de Neptune. Cette petite taille rend difficile la détection directe des trous noirs, faute d'une résolution angulaire suffisante. Il reste cependant possible de pouvoir imager directement le trou noir central de notre Galaxie par des méthodes d'interférométrie à très longue base (VLBI). D'éventuels trous noirs primordiaux, de très faible masse (quelques milliards de tonnes) pourraient éventuellement exister. De tels trous noirs seraient de taille microscopique, et ne seraient détectables que par leur rayonnement, résultant du phénomène d'évaporation des trous noirs. Cependant, suite aux connaissances qui prévalent actuellement :

  • rien ne prouve que la matière puisse indéfiniment s’effondrer en créant une singularité centrale ;
  • la plus grande masse volumique admissible est celle d’un fluide neutronique.

Le rayon de Schwarzschild, impliquant l’augmentation de la masse volumique du trou noir avec la diminution de sa masse globale, conduirait à dire qu’il n’existe pas de trou noir dont la masse est inférieure à environ trois masses solaires. On retrouve ainsi la limite d’Oppenheimer - Volkoff pour laquelle une étoile neutron, ou pulsar, cesse d’émettre et disparaît du champ des télescopes.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Le rayon de Schwarzschild apparaît dans l'expression de nombreux effets relativistes, tels que l'effet Shapiro.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Gravitational radius sur astrophysicsformulas.com (consulté le 12 juin 2014)
  2. Bičák 2000, p. 20.
  3. a et b Hobson et al. 2009, p. 193.
  4. Taillet et al. 2013, s.v. métrique de Schwarzschild, p. 434.
  5. (en) Tomás Ortín, Gravity and strings [« Gravitation et cordes »], Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », , 2e éd. (1re éd. ), 1 vol., XXVI-1015 p., 26 cm (ISBN 0-521-76813-6 et 978-0-521-76813-9, OCLC 910903353, notice BnF no FRBNF43904548, DOI 10.1017/CBO9780511616563, Bibcode 2015grst.book.....O, SUDOC 189066709, lire en ligne), p. 293, n. 6.
  6. a, b et c Taillet et al. 2013, s.v. rayon de Schwarzschild, p. 580.
  7. Hobson et al. 2009, n. 5, p. 153.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité général (cours d'introduction à la relativité générale donné en 2de année du master recherche Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France, année universitaire -), Paris, Observatoire de Paris, , 1 vol., 341 p., 28 cm (présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
  • [Taillet et al. 2013] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, (réimpr. 2015), 3e éd. (1re éd. mai 2008), 1 vol., X-899 p., 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, OCLC 842156166, notice BnF no FRBNF43541671, SUDOC 167932349, présentation en ligne).
  • [Hobson et al. 2009] Michael Hobson, George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais américain par Loïc Villain, révisé par Richard Taillet), Relativité général [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck, , 1re éd., 1 vol., XX-554 p., 18 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, OCLC 690272413, notice BnF no FRBNF42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne).
  • [Bičák 2000] (en) Jiří Bičák, chap. 1 « Selected solutions of Einstein's field equations : their role in general relativity and astrophysics », dans Bernd G. Schmidt (éd.), Einstein's field equations and their physical implications : selected essays in honour of Jürgen Ehlers [« Les équations du champ d'Einstein et leurs implications physiques : essais en l'honneur de Jürgen Ehlers »], Berlin et New York, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (no 540), , 1re éd., 1 vol., XIII-433 p., 24 cm (ISBN 3-540-67073-4, OCLC 490408208, SUDOC 052238679, présentation en ligne, lire en ligne), p. 1-126 (Bibcode : 2000LNP...540....1B, résumé, lire en ligne).
  • [Schwarzschild 1916] (de) Karl Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie » [« Sur le champ gravitationnel d'une masse ponctuelle d'après la théorie d'Einstein »], Sitzungsberichte der Königlich-Preußischen Akademie der Wissenschaften [« Comptes rendus de l'Académie royale des sciences de Prusse »],‎ , p. 189-196 (Bibcode 1916SPAW.......189S, lire en ligne [PDF]).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]