Somme des n premiers cubes

Visualisation graphique de l'égalité.

La somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers entiers :

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}$.

Soit, en utilisant la notation plus compacte des sommes et en rappelant la somme d'une série arithmétique :

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}$.

Cette identité est parfois appelée théorème de Nicomaque. C'est un cas particulier de la formule de Faulhaber.

De nombreux mathématiciens historiques ont étudié et démontré cette égalité facile à prouver. Stroeker estime que « chaque personne étudiant la théorie des nombres a dû être émerveillée par ce fait miraculeux ». Pengelley et Bressoud retrouvent cette égalité non seulement dans l’œuvre de Nicomaque (vivant vers l'an 100 dans l'actuelle Jordanie), mais aussi chez Aryabhata en Inde au V^e siècle, chez Al-Karaji vers l'an 1000 en Perse, chez Alcabitius en Arabie, chez le Français Gersonide et chez Nilakantha Somayaji (vers 1500 en Inde), ce dernier fournissant une démonstration visuelle (cf. figure ci-contre).

Plusieurs autres démonstrations sont possibles. L'une est fournie par Charles Wheatstone, qui développe chaque cube en une somme de nombres impairs consécutifs et utilise le fait que la somme des n premiers nombres impairs est égale à $n^{2}$, et que la somme des n premiers entiers est égale au n-ième nombre triangulaire ${\frac {n(n+1)}{2}}$ :

${\begin{aligned}1+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +n^{3}&=1+[3+5]+[7+9+11]+[13+15+17+19]+\cdots +\underbrace {[\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)]} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}.\end{aligned}}$

Une preuve algébrique plus directe est la suivante :

$\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)^{2}=n^{2}{\frac {(n+1)^{2}-(n-1)^{2}}{4}}=n^{3}$.

Les valeurs de $\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$ pour les premiers entiers naturels sont : 0, 1, 9, 36, 100, 225, etc. (suite A000537 de l'OEIS).

Articles connexes

• Algèbre géométrique
• Formule de Faulhaber qui donne la valeur de $1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}$