Identité (mathématiques)

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En mathématiques, le mot « identité » est employé dans plusieurs sens : il peut par exemple désigner un objet bien défini jouant un rôle particulier dans une famille d'objets (on parle ainsi de la fonction identité parmi les fonctions, de l'élément identité dans un groupe, de la matrice identité parmi les matrices, etc.), voir identité.

Cet article est consacré à un autre sens : une identité est une égalité entre deux expressions qui est vraie quelles que soient les valeurs des différentes variables employées ; par abus de langage, on baptise parfois aussi « identité » une égalité entre des termes constants, qu'on considère comme fondamentale ou surprenante. Les identités servent en général à transformer une expression mathématique en une autre, notamment pour résoudre une équation, ou à exprimer une relation importante entre certains éléments d'une théorie.

Exemples[modifier | modifier le code]

Identités remarquables[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Identité remarquable.

Certaines identités algébriques sont qualifiées de « remarquables » dans l'enseignement secondaire[1]. Elles facilitent le calcul ou la factorisation d'expressions polynomiales.

Par exemple, l'identité remarquable (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2, qui est vraie quels que soient éléments a et b d'un anneau commutatif (comme celui des entiers relatifs ou le corps des nombres réels…) fournit un procédé de calcul pour effectuer une multiplication si on dispose de simples listes de carrés : en utilisant

ab = \dfrac{(a + b)^2 - a^2 - b^2}{2}
ab = \dfrac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}

le calcul du produit ab se ramène à des calculs de sommes ou de divisions par 2, et à la lecture de la liste de carrés.

Identités définissant des notions mathématiques[modifier | modifier le code]

Certaines structures mathématiques sont définies à l’aide d’identités.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki parle d'« identités polynomiales » pour les relations vraies de la forme Q(P1, … , Pn) = 0 avec Q, P1, … , Pn des polynômes à coefficients entiers. Les identités remarquables du collège en sont des cas particuliers, voir N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Algèbre, Paris, C.C.L.S.,‎ 1970, chap. 3, p. 27.