Espace réflexif

En analyse fonctionnelle, un espace vectoriel normé est dit réflexif si l'injection naturelle dans son bidual topologique est surjective. Les espaces réflexifs possèdent d'intéressantes propriétés géométriques.

Définition

Soit $X$ un espace vectoriel normé, sur $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ . On note $X'$ son dual topologique, c'est-à-dire l'espace (de Banach) des formes linéaires continues de $X$ dans le corps de base. On peut alors former le bidual topologique $X''$ , qui est le dual topologique de $X'$ . Il existe une application linéaire continue naturelle

J:X\to X''

définie par

J(x)(\phi )=\phi (x)

, pour tout

x

dans

X

et

\phi

dans

X'

.

Ainsi, $J$ envoie $x$ vers la forme linéaire continue sur $X$ donnée par l'évaluation en $x$ . Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, $J$ préserve la norme (soit encore $\|J(x)\|=\|x\|$ ) et est donc injective. L'espace $X$ est alors dit réflexif si $J$ est bijective.

Remarques.

Cette définition implique que tout espace normé réflexif est de Banach, puisque $X$ est isomorphe à $X''$ .
L'espace de James est non réflexif, bien qu'isométriquement isomorphe à son bidual topologique (par un autre morphisme que $J$ ).

Exemples

Tout espace vectoriel normé de dimension finie n est réflexif. En effet son dual (qui coïncide avec le dual topologique puisque toute application linéaire est continue) a pour dimension n, qui est donc aussi la dimension du bidual, si bien que l'injection linéaire J est alors bijective.

Tout espace de Hilbert est réflexif, de même que les espaces $L p$ pour $1 < p < \infty$ . De manière générale : tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif d'après le théorème de Milman-Pettis.

Les espaces de suites c₀, ℓ¹ et ℓ^∞ ne sont pas réflexifs. L'espace C([0, 1]) non plus.

Les espaces de Montel sont réflexifs, pour une définition de la réflexivité généralisant celle présentée ici seulement dans le cas normé.

Propriétés

Si Y est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif X alors Y et X/Y sont réflexifs.

Pour un espace normé X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

X est réflexif ;
X est complet et son dual est réflexif ;
la boule unité fermée de X est faiblement compacte^[1] ;
toute suite bornée de X admet une sous-suite faiblement convergente^[2] ;
X est complet et toute forme linéaire continue sur X atteint sa norme en un point de la boule unité de X^[3] ;
X est complet et tout convexe fermé non vide C de X est « proximinal », c'est-à-dire que pour tout x dans X, il existe dans C au moins un c (non unique en général) tel que ║x – c║ soit égal à la distance de x à C^[4].

Un espace réflexif peut être muni d'une norme équivalente qui en fait un espace strictement convexe^[5], mais il existe des espaces réflexifs séparables qui ne sont pas super-réflexifs, c'est-à-dire qui ne sont uniformément convexes pour aucune norme équivalente^[6].

Un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual est séparable^[7].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reflexive space » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Viorel Barbu et Teodor Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces, Springer, 2012, 4^e éd., 368 p. (ISBN 978-94-007-2246-0, lire en ligne), p. 33.
↑ En effet, dans un espace normé (non nécessairement complet) muni de la topologie faible, une partie est compacte si et seulement si elle est séquentiellement compacte, d'après le théorème d'Eberlein-Šmulian : (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 3^e éd., 703 p. (ISBN 978-3-540-32696-0, lire en ligne), p. 241.
↑ Voir « Théorème de James ».
↑ (en) Jean-Pierre Crouzeix, Juan-Enrique Martinez-Legaz et Michel Volle, Generalized Convexity, Generalized Monotonicity : Recent Results, Springer, 1998, 471 p. (ISBN 978-0-7923-5088-0, lire en ligne), p. 210.
↑ (en) Joram Lindenstrauss, « On nonseparable reflexive Banach spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 72, n^o 6,‎ 1966, p. 967-970 (lire en ligne).
↑ (en) Mahlon M. Day, « Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 47, n^o 4,‎ 1941, p. 313-317 (lire en ligne).
↑ Ceci résulte du fait qu'un espace vectoriel normé est séparable dès que son dual l'est.

Portail des mathématiques

[1] (en) Viorel Barbu et Teodor Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces, Springer, 2012, 4^e éd., 368 p. (ISBN 978-94-007-2246-0, lire en ligne), p. 33.

[2] En effet, dans un espace normé (non nécessairement complet) muni de la topologie faible, une partie est compacte si et seulement si elle est séquentiellement compacte, d'après le théorème d'Eberlein-Šmulian : (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 3^e éd., 703 p. (ISBN 978-3-540-32696-0, lire en ligne), p. 241.

[3] Voir « Théorème de James ».

[4] (en) Jean-Pierre Crouzeix, Juan-Enrique Martinez-Legaz et Michel Volle, Generalized Convexity, Generalized Monotonicity : Recent Results, Springer, 1998, 471 p. (ISBN 978-0-7923-5088-0, lire en ligne), p. 210.

[5] (en) Joram Lindenstrauss, « On nonseparable reflexive Banach spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 72, n^o 6,‎ 1966, p. 967-970 (lire en ligne).

[6] (en) Mahlon M. Day, « Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 47, n^o 4,‎ 1941, p. 313-317 (lire en ligne).

[7] Ceci résulte du fait qu'un espace vectoriel normé est séparable dès que son dual l'est.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]