Compacité séquentielle

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En mathématiques, un espace séquentiellement compact est un espace topologique dans lequel toute suite possède au moins une sous-suite convergente. La notion de compacité séquentielle entretient des rapport étroits avec celles de quasi-compacité et compacité et celle de compacité dénombrable. Pour un espace métrique (notamment pour un espace vectoriel normé), ces quatre notions sont équivalentes.

Intuitivement, un ensemble compact est « petit » et « fermé », au sens où l'on ne peut « s'en échapper ». Si on forme une suite de points de cet ensemble, ses éléments ne peuvent pas beaucoup s'éloigner les uns des autres et se concentrent sur certaines valeurs. Cet article propose une approche de la compacité dans le cadre restreint des espaces métriques, où elle est équivalente à la compacité séquentielle.

Comparaison avec la compacité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Espace dénombrablement compact.

Un espace est dit compact s'il est séparé et quasi-compact. Or la définition usuelle de la quasi-compacité est équivalente à la suivante, qui correspond mot pour mot à celle de la compacité séquentielle, à une différence près : on remplace les suites par des suites généralisées[1] :

Un espace quasi-compact est un espace topologique dans lequel toute suite généralisée possède au moins une sous-suite généralisée convergente.

Quelques contre-exemples suffisent à se convaincre que cet ajout du mot « généralisée » est très important. Les plus connus sont :

Il existe cependant des liens entre ces deux notions via celle, multiforme, de compacité dénombrable (parfois sous certaines hypothèses, toujours vérifiées lorsque l'espace est métrisable) : voir l'article détaillé.

Par ailleurs, tout compact « assez petit » est séquentiellement compact. Sous l'hypothèse du continu, ce « assez petit » se traduit par : « ayant au plus autant d'éléments que ℝ ». Plus précisément (et sans l'hypothèse du continu) :Tout quasi-compact de cardinal inférieur ou égal à 1 est séquentiellement compact[3],[4].

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout espace fini ou, plus généralement, tout sous-espace réunion finie de parties séquentiellement compactes d'un même espace, est clairement séquentiellement compact.
  • Dans un espace séparé, de même que toute partie compacte est fermée, toute partie K séquentiellement compacte est séquentiellement fermée, c'est-à-dire stable par limites de suites (toute suite de points de K qui converge a sa limite dans K), mais pas nécessairement fermée : par exemple [0, ω1[ n'est pas fermé dans [0, ω1].
  • Toute partie séquentiellement fermée (et a fortiori toute partie fermée) d'un espace séquentiellement compact est séquentiellement compacte, de même que tout fermé d'un (quasi-)compact est (quasi-)compact.
  • Dans un espace séparé, de même que l'intersection de toute suite décroissante de compacts non vides, l'intersection de toute suite décroissante de parties séquentiellement compactes Fn non vides est non vide. En effet, choisissons pour tout n un élément un de Fn. La suite (un) admet une sous-suite convergente dans F0. Pour tout n, la sous-suite est à valeurs dans Fn à partir d'un certain rang et comme cet ensemble est séquentiellement fermé, il contient la limite.
  • De même que la quasi-compacité, la compacité séquentielle est préservée par images continues.

Partie relativement séquentiellement compacte[modifier | modifier le code]

Une partie A d'un espace topologique X est dite relativement séquentiellement compacte si toute suite à valeurs dans A possède au moins une sous-suite qui converge dans X. Cette notion est à rapprocher de celles de compacité relative et de compacité dénombrable relative mais l'adhérence d'une partie relativement séquentiellement compacte[5] ou même d'une partie séquentiellement compacte[6] n'est pas nécessairement séquentiellement compacte.

Espaces métriques compacts[modifier | modifier le code]

De très nombreux problèmes de topologie et d'analyse fonctionnelle se posent dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension quelconque, ou plus généralement des espaces métriques. L'outil principal est alors la notion de suite convergente. Dans le cas où l'on dispose d'une distance sur l'espace, on peut tirer de la compacité de nombreuses informations et l'on peut la caractériser à l'aide du théorème fondamental suivant.

Théorème de Bolzano-Weierstrass[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Bolzano-Weierstrass.

Théorème de Bolzano-Weierstrass — Un espace métrique est compact si et seulement s’il est séquentiellement compact.

Fermés bornés[modifier | modifier le code]

Dans un espace métrique :

Cette réciproque est cependant vraie lorsque l'espace métrique est la droite réelle, le plan usuel, ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'une norme :

Théorème de Borel-Lebesgue — Dans ℝn, les compacts sont les fermés bornés.

L'article « Théorème de Borel-Lebesgue » en donne une démonstration à partir de la notion de compacité mais on peut aussi en donner une à partir de celle, équivalente ici, de compacité séquentielle :

Un espace métrique est dit propre si toutes ses boules fermées sont compactes ou, ce qui revient au même, si ses compacts sont ses fermés bornés. Le théorème précédent est optimal au sens suivant :

Théorème de compacité de Riesz — Un espace vectoriel normé réel[8] est propre (si et) seulement s'il est de dimension finie.

La partie « si » se ramène, par équivalence des normes, à la caractérisation des compacts de ℝn, fournie par le théorème de Borel-Lebesgue.

La partie « seulement si » est le théorème de compacité de Riesz proprement dit et se démontre en utilisant à nouveau, entre autres, le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Limitations de taille[modifier | modifier le code]

Un espace métrique X est dit précompact si toute suite dans X possède une sous-suite de Cauchy. Il est donc immédiat que X est séquentiellement compact si et seulement s’il est précompact et complet.

Par conséquent, tout espace métrisable (séquentiellement) compact est homéomorphe à un fermé du cube de Hilbert [0, 1] (puisque tout métrique précompact est séparable et tout espace métrisable séparable est homéomorphe à un sous-espace de [0, 1]). En particulier, il a au plus la puissance du continu[9], c'est-à-dire que son cardinal est inférieur ou égal à celui de ℝ[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (ps) Raymond Mortini, Topologie, théorème 7.2 p. 32 (Mortini emploie, comme les anglophones, le mot « compact » pour désigner nos quasi-compacts.)
  2. a et b Il est difficile de construire un espace séparé séquentiellement compact séparable de cardinal strictement supérieur à la puissance du continu : ZFC n'y suffit pas, mais n'exclut pas qu'il en existe. (en) Size of the closure of a set, sur math.stackexchange.
  3. (en) Norman Levine, « On compactness and sequential compactness », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 54,‎ 1976, p. 401-402 (lire en ligne)
  4. (en) Peter Nyikos, « Sequential extensions of countably compact spaces », Topology Proceedings, vol. 31, no 2,‎ 2007, p. 651-665 (lire en ligne) et (en) Ofelia T. Alas et Richard G. Wilson, « When is a Compact Space Sequentially Compact? », Topology Proceedings, vol. 29, no 2,‎ 2005, p. 327-335 (lire en ligne) donnent des théorèmes plus récents assurant qu'un quasi-compact ou un dénombrablement compact « suffisamment petit » (en divers sens) est séquentiellement compact.
  5. (en) Charles Castaing, Paul Raynaud de Fitte et Michel Valadier, Young Measures on Topological Spaces, Springer,‎ 2004 (ISBN 978-1-40201963-0, lire en ligne), p. 83
  6. Christian Samuel, « Le théorème d'Eberlein-Šmulian », Université d'Aix-Marseille, p. 2-3
  7. sans quoi elle contiendrait une suite d'éléments dont les distances à un point fixe tendent vers l'infini, donc sans sous-suite convergente
  8. en particulier (par oubli de structure) un espace vectoriel normé complexe, dont la dimension réelle sera double
  9. Plus généralement, tout espace compact à bases dénombrables de voisinages a au plus la puissance du continu.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Ronald Brown (en), « On sequentially proper maps and a sequential compactification », J. Lond. Math. Soc., vol. 7, no 2,‎ 1973, p. 515-522 (lire en ligne)