Système de numération

Un système de numération est un ensemble de règles qui régissent une, voire plusieurs numérations données. De façon plus explicite, c'est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer les nombres, ces derniers étant nés, sous leur forme écrite, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation. Le système de numération indo-arabe est aujourd’hui le plus répandu dans le monde.

Principe de base

Article détaillé : Base (arithmétique).

Le système de numération le plus ancien, dit unaire, s'avère peu pratique, notamment lorsqu'il s'agit de manier des quantités importantes. Pour remédier à cette lacune, la solution consiste à grouper les unités par paquets chaque fois qu'est atteinte une même valeur, qu'on appelle base de numération. De même, on regroupe ces paquets en paquets d'ordre supérieur, et ainsi de suite. Généralement, le nombre d'éléments de chaque paquet, qui donne la base de la numération, est identique. Il existe toutefois des exceptions, par exemple dans notre notation des heures : 60 s pour 1 min, 60 min pour 1 heure, 24 h pour un jour, 28 à 31 jours pour un mois. De même, la numération maya, de caractère vigésimale est irrégulière afin d'approcher le calendrier. La numération babylonienne, de caractère sexagésimal, se présente comme une combinaison de systèmes.

De nombreux systèmes ont été utilisés par des peuples et à des époques variés.

Un système binaire (base 2) utilisé dans des langues d'Amérique du Sud et d'Océanie et est à la base du système de numération utilisé en informatique (1 le courant passe, 0 le courant ne passe pas)
Un système quinaire (base 5) était utilisé parmi les premières civilisations ^{[réf. nécessaire]}, et jusqu'au XX^e siècle par des peuples africains, mais aussi, partiellement, dans les notations romaine et maya.
Un système sénaire (base 6)
Un système octal (base 8) est utilisé en langue pame du Nord, au Mexique, et en langue yuki, en Californie, ainsi qu'en informatique.
Un système décimal (base 10) a été utilisé par de nombreuses civilisations, comme les Chinois dès les premiers temps, et, probablement, les Proto-indo-européens. Aujourd'hui, il est de loin le plus répandu.
Un système duodécimal (base 12) est utilisé au Népal par le peuple chepang. On le retrouve, à cause de ses avantages en matière de divisibilité (par 2, 3, 4, 6), pour un certain nombre de monnaies et d'unités de compte courantes en Europe au Moyen Âge, partiellement dans les pays anglo-saxons dans le système d'unité impérial, et dans le commerce. Il sert aussi pour compter les mois, les heures et les œufs.
Un système hexadécimal (base 16), très couramment utilisé en électronique ainsi qu'en informatique.
Un système vigésimal (ou vicésimal, base 20) existe au Bhoutan en langue dzongkha, et était en usage chez les Aztèques et, quoiqu'irrégulier, pour la numération maya. Certains pensent qu'il a aussi été utilisé par les Gaulois ou par les Basques dans les premiers temps, mais on ignore en réalité si leur numération avait un caractère décimal ou vigésimal.
Un système sexagésimal (base 60) était utilisé pour la numération babylonienne, ainsi que par les Indiens et les Arabes en trigonométrie. Il sert actuellement dans la mesure du temps et des angles.

Certaines bases de numération sont utilisées dans des domaines scientifiques, notamment en électronique numérique et en informatique. Consulter l'article Base (arithmétique) pour plus de détails.

Systèmes d'énonciation

Article détaillé : Adjectif numéral.

Certains nombres bénéficient exclusivement d'un nom simple, comme mille en français. Dans le cas contraire, plusieurs principes permettent de les composer.

L'addition : dix-sept en français (10+7) ;
la multiplication : deux cents en français (2×100) ;
la soustraction : dix-huit se dit duodeviginti en latin classique (deux-de-vingt, 20-2) ;
la division : cinquante se dit hanter-kant en breton (moitié-[de-]cent, 100/2) ;
la protraction (terme introduit par Claude Hagège) : trente-cinq se disait holhu ca kal en yucatèque (cinq-dix deux vingts, 15 2×20, soit 15 vers 2×20 ou 15 à partir de la vingtaine précédant 2×20, soit 15+20). Dans l'expression de 35 (comme dans celle de trente) il convient de restituer un relateur sous-entendu (ou effacé) qui était tu (en réalité ti+u avec ti = locatif 'vers' et u = indice personnel de 3^e personne 'son' qui, dans ce contexte, servait à dériver l'ordinal depuis le cardinal; si bien que l'expression de 35 doit s'analyser comme étant « 15 vers la deuxième vingtaine »^[1]^,^[2].

Un système auxiliaire est parfois utilisé. Par rapport au système principal, celui-ci peut-être :

inférieur : la numération wolof est décimale mais utilise un système quinaire auxiliaire, vingt-six se dit ñaar fukk ak juroom benn en wolof (deux dix et cinq un, 2×10+5+1) ;
supérieur : la numération basque est décimale mais utilise un système vicésimal auxiliaire, cent cinquante-deux se dit en ehunta berrogeita hamabi en basque (cent-et deux-vingts-et dix-deux, 100+2×20+10+2). De même, en français de France persistent quatre-vingt et quatre-vingt-dix (au lieu d'huitante en Suisse et de nonante en Suisse et en Belgique), qui proviennent du système vicésimal médiéval, utilisé de façon auxiliaire au système principal décimal d'origine latine.

Enfin, certains nombres bénéficient d'une construction indépendante de la base employée. Ainsi, actuellement en breton, dix-huit se dit triwecʼh (trois-six, 3×6). On trouvait aussi anciennement daounav (deux-neuf, 2×9), et, respectivement, pour quarante-cinq et quarante-neuf, pemp nav (cinq neuf, 5×9) et seizh seizh (sept sept, 7×7). Il va de soi que cette dernière forme ne provient pas d'une base sept, mais de la valeur symbolique de ce nombre.

Systèmes de mime

Les peuples se servent traditionnellement des parties de leur corps pour compter. Pour un compte décimal ou quinaire, les doigts sont généralement mis à contribution. Les Yukis, qui emploient un système octal, utilisent des espaces entre les doigts pour compter. Le peuple chepang, qui emploie un système duodécimal, se sert du pouce pour compter sur les phalanges des doigts. Bien d'autres procédés encore ont été employés.

Systèmes de notation

Les symboles utilisés pour écrire les nombres sont les chiffres. La règles d'utilisations de ces chiffres permettent de distinguer schématiquement trois principales familles de systèmes de notation : les systèmes additifs, les systèmes hybrides et les systèmes positionnels.

Les systèmes additifs

Article détaillé : Notation additive (numération).

Ces systèmes utilisent des chiffres pour représenter les puissances de la base, et éventuellement des sous multiples de ces puissances. Les autres nombres s'obtiennent par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs des symboles pour connaitre le nombre. C'est le cas des systèmes de numération égyptien, grec, romain, gotique, ou plus simplement du système unaire ou de la numération forestière.

Il existe également des systèmes à la fois additifs et soustractifs. Ainsi, la numération romaine, additive, connait une variante additive et soustractive plus tardive.

Les systèmes hybrides

Ces systèmes utilisent des chiffres pour les unités et pour les puissances de la base. Les chiffres représentant une puissance de la base utilisés sont, au besoin, combinés avec un chiffre représentant une unité, et les nombres sont ainsi représentés par addition de multiples de puissances de la base. C'est le cas des systèmes de numération chinois et japonais. On peut remarquer qu'un tel système de notation comporte une forte analogie avec le système d'énonciation des nombres dans une majorité de langues. (Par exemple, en français, le nombre deux-mille-huit-cent-dix-sept, est aussi formé par addition de multiples de puissances de la base 10 : 2×10³+8×10²+1×10¹+7.)

Les systèmes positionnels

Article détaillé : Notation positionnelle.

Ces systèmes utilisent des chiffres, dont la place dans l'écriture du nombre indique le poids qui leur est affecté (poids n⁰=1, poids n¹=n, poids n², … pour une base n). C'est le cas des systèmes de numération maya et babylonien, ainsi que les systèmes de numération indien et arabe à l'origine des mathématiques modernes. Ces dernières permettent désormais d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, à l'aide du zéro positionnel.

Dans un tel système, une base β nécessite β chiffres pour représenter tous les entiers. Typiquement, la valeur de ces chiffres va de 0 à β-1 ; mais il existe aussi des types de représentations non standard :

des systèmes k-adiques, sans 0, utilisant, pour une base β, des chiffres de 1 à β (ce sont des systèmes bijectifs) ;
des systèmes balancés utilisant, pour une base β impaire, des chiffres de -(β-1)/2 à (β-1)/2 ;
des systèmes redondants, utilisant pour une base β un nombre de chiffres strictement supérieur à β.

Certains systèmes sont incomplets, car ils ne permettent pas de représenter tous les nombres. C'est le cas, par exemple, des systèmes de base β utilisant un nombre de chiffres strictement inférieur à β.

Plusieurs systèmes connaissent des applications en électronique et en informatique. Ces systèmes ont la particularité de représenter les nombres sur un nombre défini de positions, et ne peuvent donc représenter les entiers que jusqu’à une certaine borne. Par exemple,

en binaire : système négabinaire ;
en ternaire : système ternaire balancé ;
en base β : système d'Avizienis.

Autres systèmes

Il existe aussi des systèmes alternatifs de représentations des nombres, soit dérivés du système positionnel, soit indépendant du concept de base tel qu'il a été défini plus haut. En voici quelques exemples,

en mathématiques (voir la section suivante correspondante) : le développement en fraction continue, le développement en série de Engel, le développement de Hensel, le système modulaire de représentation ;
en électronique et en informatique : le binaire réfléchi (ou code de Gray), le complément à un, le complément à deux, le décimal codé binaire.

Mathématiques

Définition

Un système de numération est un triplet (X, I, ϕ), où X est l'ensemble à énumérer, I est un ensemble ﬁni ou dénombrable de chiffres et ϕ est une application injective dans les suites de chiffres $\Phi :X\hookrightarrow I^{\mathbb {N} }$ , $x\mapsto (\epsilon _{n}(x))_{n\geq 1}$ .

En notation décimale, X est l'ensemble des entiers naturels, $I=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}$ est l'ensemble des chiffres décimaux et la suite associée à un nombre entier est la suite de ses chiffres décimaux.

L’application ϕ est appelée application de représentation, et ϕ(x) est la représentation de x∈X.

Les suites admissibles sont déﬁnies comme les représentations images ϕ(x), pour x∈X.

Exemples

La représentation q-adique, ou écriture en base q: tout entier naturel s'écrit de manière unique comme $n=\sum _{i=0}^{N}\epsilon _{i}(n)q^{i}$ , avec les chiffres $0\leq \epsilon _{i}(n)<q$ et $\epsilon _{N}(n)\not =0$ où $N=\left\lfloor {\frac {\log(n)}{\log(q)}}\right\rfloor +1$ est le nombre de chiffres de n en base q. De même, tout réel peut s'écrire, de manière unique si son développement est propre (pas de suite infinie de q-1 comme 0,999...=1), comme $n=\sum _{i=-\infty }^{N}\epsilon _{i}(n)q^{i}$ .
La représentation de Zeckendorf : les nombres de Fibonacci $F_{0}=1$ , $F_{1}=2$ , $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ permettent d'écrire tout entier naturel de manière unique comme $n=\sum _{i=0}^{N}\epsilon _{i}(n)F_{i}$ , avec les chiffres $\epsilon _{i}(n)\in \{0,1\}$ et $\epsilon _{N}(n)\not =0$ .
La représentation en fractions continues: Tout nombre réel peut s'écrire (de manière unique si le développement est propre) $x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}$ avec $a_{0}\in \mathbb {Z}$ et $a_{k}\in \mathbb {N} ^{*}$ pour k>0.
La β-numération où β est une base non entière, la base d'or en est un exemple.
La décomposition en nombres premiers est un système de numération, notamment utilisé par les calculateurs quantiques^[3], $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\exists !(\alpha _{p})_{p\in {\mathcal {P}}}\in \mathbb {N} ^{({\mathcal {P}})}:n=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{\alpha _{p}}$ .

Le système modulaire de représentation (RNS) permet, à l'aide d'une base $\{m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\}$ de modules mutuellement premiers entre eux, d'énumérer tous les nombres entiers $0\leq x<M$ jusqu'à $M=\prod _{i=1}^{n}m_{i}$ par leur suite de restes $(x{\pmod {m_{i}}})_{1\leq i\leq n}$ en utilisant le théorème des restes chinois.
La numération factorielle (en)^[4], dans laquelle une suite finie d'entiers $(x_{n},\ldots ,x_{1})$ avec $0\leq x_{k}\leq k$ représente l'entier $\sum _{k=1}^{n}x_{k}.k!$ .

Système de numération fibré

Les chiffres proviennent d'une transformation non injective $T:X\to X$

En représentation q-adique, le "chiffre des unités" est donné par $\epsilon (n)=n\,({\text{mod}}\,q)$ et la suite des chiffres par $\epsilon _{k}(n)=\epsilon (T^{k}(n))$ où T est l'application $T(n)=({n-\epsilon (n)})/q$ .
La suite des chiffres de la représentation en fractions continues provient de $\epsilon (x)=\lfloor 1/x\rfloor$ et l'application de Gauss $T(x)=1/x-\epsilon (x)$ .

Notes et références

↑ A. Cauty, Des spécificités des numérations mayas précolombiennes, Mémoire de la Société de Linguistique de Paris, Nouvelle Série, tome XII, 2002, Leuven (Belgique), Peters, p.121-147
↑ A. Cauty, Le type protractif des numérations de l’aire maya, Faits de Langues, n^o 20, 2002 : Méso-Amérique, Caraïbes, Amazonie, Vol. 1, Paris, Ophrys, p. 85-93.
↑ John Gribbin, La physique quantique (2ème édition), Pearson Education, 2007 (ISBN 978-2-7440-7263-5), p. 57
↑ Charles-Ange Laisant, « Sur la numération factorielle, application aux permutations », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 16,‎ 1888, p. 176–183 (lire en ligne)

Voir aussi

Articles connexes

Chaîne numérique
Numération
Numération romaine
Numération forestière
Notation positionnelle
Base (arithmétique)
Système unaire
Nombres en français
Chiffre arabo-indien
Nombres dans le monde
Liste de nombres
Système vicésimal
Système ordinal
The Ciphers of the MonksThe Ciphers of the Monks

Liens externes

NOMBRES: curiosités, théorie et usages sur le site de Gérard Villemin (bases de numération)
Numération

Portail des mathématiques

[1] A. Cauty, Des spécificités des numérations mayas précolombiennes, Mémoire de la Société de Linguistique de Paris, Nouvelle Série, tome XII, 2002, Leuven (Belgique), Peters, p.121-147

[2] A. Cauty, Le type protractif des numérations de l’aire maya, Faits de Langues, n^o 20, 2002 : Méso-Amérique, Caraïbes, Amazonie, Vol. 1, Paris, Ophrys, p. 85-93.

[3] John Gribbin, La physique quantique (2ème édition), Pearson Education, 2007 (ISBN 978-2-7440-7263-5), p. 57

[4] Charles-Ange Laisant, « Sur la numération factorielle, application aux permutations », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 16,‎ 1888, p. 176–183 (lire en ligne)

[1]

[2]

[3]

[4]

v · m Systèmes de numération
Arabo-indiennes	Arabe occidentale Arabe orientale Khmère Indienne Mongole Thaïe
Positionnelles	À bâtons Maya Mésopotamienne
Asiatiques orientales	Chinoise Coréenne Japonaise Suzhou
Alphabétiques	Abjad Arménienne Cyrillique Âryabhata Éthiopienne Hébraïque Grecque Gotique
Additives	Attique Brahmi Champs d’urnes Égyptienne Étrusque Forestière Inuite Romaine Tchouvache
Voir aussi : Notation musicale Système d’écriture

v · m Base de numération positionnelle
1 à 9	unaire (1), binaire (2), ternaire (3), quaternaire (4), quinaire (5), sénaire (6), septénaire (7), octal (8), nonaire (9)
10 à 60	décimal (10), undécimal (11), duodécimal (12), tridécimal (13), quindécimal (15), hexadécimal (16), octodécimal (18), vicésimal (20), base 36, sexagésimal (60)
Autre base	base d'or (φ), mixte, négabinaire (–2), négaternaire (-3), bases complexes (en) : quater-imaginaire (2 $i$ )
Notions	base chiffre nombre notation positionnelle numération système bibi-binaire