Fonction exponentielle

Courbe représentative de la fonction $x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$.

Fonction exponentielle

Représentation	$\mathrm {e} ^{x}$
Réciproque	$\ln x\,$
Dérivée	$\mathrm {e} ^{x}$
Primitive	$\mathrm {e} ^{x}+C$

En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images.

On note e la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle

$\exp(x)=\mathrm {e} ^{x}$

La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1. C'est un cas particulier des fonctions de ce type appelées exponentielles de base a.

On peut la déterminer comme limite de suite ou à l'aide d'une série entière.

C'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition de la fonction exponentielle à des fonctions de ℂ vers ℂ* ou même à des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.

Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier… mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.

On appelle aussi parfois fonction exponentielle toute fonction dont l'expression est de la forme f(x) = Ae^λx.

Fonction exponentielle réelle

Définitions

Il existe plusieurs points d'entrée possible pour la définition de la fonction exponentielle : par la propriété de sa dérivée (dérivée égale à la fonction), par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit), ou par son développement en série.

Par une équation différentielle

Courbe d'équation y = exp(x) et quelques sous-tangentes.

Définition —  On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable solution du problème de Cauchy suivant :

$f'=f\qquad f(0)=1$

Cette propriété d'être sa propre dérivée se traduit par une propriété sur la sous-tangente à la courbe représentative de exp. La sous-tangente, c'est-à-dire la distance qui sépare le réel x de l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse x avec l'axe des x, est constante et vaut 1.

Démonstration

• Il existe une fonction f solution du problème de Cauchy :
  Cette existence est garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Les sections suivantes en fournissent trois autres preuves (à partir de la fonction logarithme, de l'équation fonctionnelle, ou comme série entière). En voici une cinquième : la méthode d'Euler. L'approximation affine de la fonction f montre que, pour h petit, $f(a+h)$ est voisin de $f(a)+f'(a)h$, c'est-à-dire de $f(a)(1+h)$. En partant de x₀ = 0, en prenant pour h la valeur x/n, et en appliquant l'approximation affine n fois, on arrive à dire que f(x) doit être voisin de $\scriptstyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$. Si l'on note exp cette fonction, ce processus de construction conduit à définir exp(x) par$\exp(x)=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$Encore faut-il montrer que cette expression a bien une limite pour tout n et que la fonction que l'on obtient est bien dérivable et égale à sa dérivée. On se sert pour cela des suites $\scriptstyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ et $\scriptstyle \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{-n}$ que l'on prouve être adjacentes.
• Une telle fonction f est unique :
  L'unicité est, elle aussi, garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Voici une preuve plus spécifique : si f est une solution alors, pour toute solution g, la fonction h définie par h(x) = g(x)f(–x) vérifie, d'après les règles usuelles de dérivation :h ' (x) = g ' (x)f(–x) – g(x)f ' (–x) = g(x)f(–x) – g(x)f(–x) = 0donc h(x) = h(0) = 1, ce qui prouve que la fonction x ↦ f(–x) ne s'annule jamais et que toute solution g en est l'inverse, donc est unique.
• La sous-tangente est constante
  La tangente au point d'abscisse x a pour équation $Y=\exp(x)(X-x)+\exp(x)$ et coupe l'axe des abscisses pour X vérifiant l'équation$\exp(x)(X-x)+\exp(x)=0\Leftrightarrow X-x+1=0\Leftrightarrow x-X=1.$

À partir de la fonction logarithme népérien

Définition — La fonction exp, de ℝ dans ℝ*₊, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

En effet, la fonction logarithme népérien étant continue strictement croissante sur son ensemble de définition, elle définit une bijection de ℝ*₊ sur ℝ. Sa réciproque est une fonction f définie sur ℝ vérifiant f(0) = 1 car ln(1) = 0. La fonction ln étant dérivable et de dérivée non nulle, sa réciproque est une fonction dérivable et, pour tout réel x,

$f'(x)={\frac {1}{\ln '(f(x))}}=f(x).$

Caractérisation algébrique

La propriété algébrique de la fonction exponentielle (fonction continue non nulle transformant une somme en produit) est partagée par un ensemble de fonctions qui portent aussi le nom de fonctions exponentielles. Elles sont entièrement déterminées dès que l'on a précisé leur valeur en 1 qui doit être un réel strictement positif. La fonction qui prend la valeur a en 1 est alors appelée fonction exponentielle de base a. On peut ainsi considérer que la fonction exponentielle est la fonction exponentielle de base e.

Définition — La fonction exp est l'unique fonction continue de ℝ dans ℝ* transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'équation fonctionnelle

$\forall u,v\in \mathbb {R} ,~f(u+v)=f(u)f(v)$

et prenant la valeur e en 1.

On détermine exp(x) sur les entiers puis sur les rationnels puis sur les irrationnels par continuité. On démontre à partir de cette définition (voir l'article détaillé) que la fonction exp est non seulement continue mais dérivable et égale à sa propre dérivée. On retrouve ainsi la définition ci-dessus de l'exponentielle par une équation différentielle.

On s'inspire de l'égalité $\exp(p/q)=\mathrm {e} ^{p/q}$ pour tous entiers q > 0 et p pour introduire une nouvelle notation pour la fonction exp : $\exp(x)=\mathrm {e} ^{x}\,$ pour tout réel x.

Toutes les fonctions exponentielles de base a s'expriment à l'aide de la fonction exp et de la fonction logarithme népérien :

$\exp _{a}(x)=a^{x}=\mathrm {e} ^{x\ln(a)}.~$

Par une série

La fonction exponentielle et son approximation autour de zéro par les premiers termes de la série.

Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle exp ou encore x ↦ e^x comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :

$\exp(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{x^{n} \over n!}$,

où n! est la factorielle de n.

Démonstration

Toute série formelle $F(X)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}X^{n}$ vérifie $F(0)=a_{0}{\text{ et }}F'(X)=\sum _{n=0}^{+\infty }(n+1)a_{n+1}X^{n}.$ La solution formelle de $F(0)=1{\text{ et }}F'=F$ est donc $a_{0}=1{\text{ et }}\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n+1}={\frac {a_{n}}{n+1}}$ c'est-à-dire $\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}={\frac {1}{n!}}.$ La règle de d'Alembert montre que la série entière associée a un rayon de convergence infini. La fonction entière ainsi définie fournit donc, par restriction, une fonction réelle solution au problème de Cauchy. L'unique solution de ce problème est par conséquent analytique réelle, et les coefficients de sa série de Taylor en 0 sont les 1/n!.

On en déduit l'un des nombreux développements en fraction continue généralisée de la fonction exponentielle :

${\rm {e}}^{x}={\frac {1\mid }{\mid 1}}-{\frac {x\mid }{\mid 1+x}}-{\frac {x\mid }{\mid 2+x}}-{\frac {2x\mid }{\mid 3+x}}-{\frac {3x\mid }{\mid 4+x}}-{\frac {4x\mid }{\mid 5+x}}-\cdots .$

Une analyse détaillée d'expressions de cette nature est proposée dans l'article « Approximant de Padé de la fonction exponentielle ».

Étude de la fonction exponentielle

Représentation graphique de la fonction exponentielle dans $\mathbb {R}$.

La fonction exp prend en 1 une valeur notée e, qui vaut environ 2,718 et est un nombre transcendant.

La première des quatre définitions équivalentes ci-dessus montre que la fonction exp est de classe C^∞. La dernière montre qu'elle est même analytique.

La deuxième montre que la fonction exp est strictement croissante de ℝ dans ℝ*₊ et que $\lim _{x\to -\infty }\exp(x)=0{\text{ et }}\lim _{x\to +\infty }\exp(x)=+\infty .$

Plus précisément — voir l'article Indétermination de la forme ∞/∞ — la fonction exp tend vers + ∞ quand sa variable tend vers + ∞ plus rapidement que toute fonction polynomiale, c'est-à-dire que

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\exp(x)}{x^{n}}}=+\infty$

quel que soit l'entier naturel n. Par changement de variable, on en déduit

$\lim _{x\to -\infty }x^{n}\exp(x)=0.$

La croissance de exp peut aussi se déduire de la positivité de sa dérivée exp. De même, puisque sa dérivée seconde exp est positive, la fonction exp est convexe.

Propriétés

La fonction exponentielle, de ℝ sur ℝ*₊, est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien : pour tous réels y > 0 et x,

ln(e^x) = x, e^ln(y) = y et e^x = y ⇔ x = ln(y).

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits, c'est-à-dire que pour tous réels x et y, e^{x + y} = e^xe^y.

On en déduit que pour tout réel x et tout rationnel b, (e^x)^b = e^bx.

Pour b irrationnel, cette équation peut tenir lieu de définition, c'est-à-dire que l'une des façons de définir l'exponentielle de base a est de poser, pour tous réels a > 0 et b : a^b = e^bln(a).

Généralisation à d'autres ensembles

Dans le plan complexe

Définitions

On peut définir la fonction exp complexe de deux façons :

1. En utilisant la propriété :$\exp(\mathrm {i} x)=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$,
   on écrit
   $\exp(a+\mathrm {i} b)=\exp(a)(\cos(b)+\mathrm {i} \sin(b))$
   où a et b sont des nombres réels.La fonction exponentielle complexe s'exprime donc à l'aide de la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques.
2. En utilisant le développement en série de l'exponentielle, on étend celle-ci au plan complexe :$\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}.$

La fonction exponentielle vérifie alors les propriétés importantes suivantes :

• pour tous z et w,$\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w){\text{ et }}\exp(0)=1{\text{ (donc }}\exp(z)\neq 0{\text{) ;}}$
• la fonction exponentielle dans le plan complexe est une fonction holomorphe et sa dérivée (au sens complexe) est elle-même :$\exp '(z)=\exp(z).$

Ces formules se montrent à l'aide des formules de trigonométrie ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries, selon le mode de définition de l'exponentielle.

C'est une fonction périodique, de période le nombre imaginaire pur 2iπ. Cette périodicité empêche la création d'une réciproque, c'est la raison pour laquelle prolonger le logarithme naturel à l'ensemble des nombres complexes, donne naturellement une fonction multiforme z ↦ ln(z), appelée logarithme complexe.

L'exponentielle plus générale : pour tous nombres complexes z et w, $z^{w}=\exp(w\ln(z)).$

est alors aussi une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.

Représentations

Si $\scriptstyle w=x+iy$ on peut représenter graphiquement, dans l'espace, les fonctions $\scriptstyle w\mapsto \Re (\exp(w))$, $\scriptstyle w\mapsto \Im (\exp(w))$, $\scriptstyle w\mapsto |\exp(w)|$ et $\scriptstyle w\mapsto \arg(\exp(w))$

• Surfaces représentant la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument principal de l'exponentielle complexe
• 
  $\scriptstyle z=\Re (\exp(x+iy))$
• 
  $\scriptstyle z=\Im (\exp(x+iy))$
• 
  $\scriptstyle z=|\exp(x+iy)|$
• 
  $\scriptstyle z=\arg(\exp(x+iy))$

• Courbe de densité représentant la partie réelle et la partie imaginaire de l'exponentielle complexe
• 
  $\scriptstyle z=\Re (\exp(x+iy))$
• 
  $\scriptstyle z=\Im (\exp(x+iy))$

Pour d'autres représentations de l'exponentielle à base e, se référer à l'article en anglais de wikimedia commons.

Fonctions exponentielles dans d'autres espaces

La définition de l'exponentielle comme série entière permet de définir l'exponentielle d'une matrice carrée M comme

$\exp(M)=\mathrm {e} ^{M}=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}M^{k}.$

Les exponentielles de matrices sont utiles dans la résolution des équations différentielles ordinaires.

La définition de l'exponentielle comme un morphisme continu d'un groupe additif vers un groupe multiplicatif permet de définir une fonction exponentielle de ℝ vers tout groupe topologique. Plus généralement, pour un groupe topologique G, on appelle sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu ℝ → G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité.

La définition de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle se généralise pour les groupes de Lie et les géodésiques dans les variétés riemanniennes

La définition de l'exponentielle comme série entière permet de la définir sur des algèbres de Banach (voir l'article Calcul fonctionnel).

Applications

Équation différentielle linéaire

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elles sont proportionnelles à leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\lambda \mathrm {e} ^{ax}=a\lambda \mathrm {e} ^{ax}$

ou plus exactement, la fonction $\varphi :x\mapsto \lambda \mathrm {e} ^{ax}$ est l'unique solution de l'équation fonctionnelle

$\varphi '=a\varphi$ et $\varphi (0)=\lambda$

Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.

La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :

$y'=y$

et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.

Fonction trigonométrique

La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Les formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition $\exp({\rm {i}}z)=\cos z+{\rm {i}}\sin z$) nous donnent un lien direct entre les fonctions cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.

$\cos x={{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x} \over 2}$

$\sin x={{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x} \over 2{\rm {i}}}$

Ces formules permettent de retrouver la plupart des identités trigonométriques, en particulier

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)~$

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)~$

à partir desquelles on peut retrouver quasiment toutes les autres.

La fonction exponentielle est aussi un moyen facile de linéariser les expressions de la forme cos^px sin^qx : voir le § « Linéarisation » de l'article sur les identités trigonométriques.

La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre.

Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique

À partir de la fonction exponentielle, on peut définir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliques cosinus hyperbolique, ch (ou cosh en anglais) et sinus hyperbolique, sh (ou sinh en anglais), utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.

$\operatorname {ch} x={{\rm {e}}^{x}+{\rm {e}}^{-x} \over 2}$

$\operatorname {sh} x={{\rm {e}}^{x}-{\rm {e}}^{-x} \over 2}$

Théorie de Fourier

Les fonctions exponentielles $t\mapsto {\rm {e}}^{{\rm {i}}kt}$ où t est un réel sont utilisées dans la théorie de Fourier. Elles permettent d'exprimer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques, ce sont les séries de Fourier. Elles permettent aussi de définir la transformée de Fourier d'une fonction de carré sommable.

Voir aussi

Articles connexes

• Antilogarithme
• Croissance et décroissance exponentielles
• Fonction exponentielle double
• Fonction exponentielle étirée
• Formule de Trotter-Kato
• Histoire des logarithmes et des exponentielles
• Logarithme
• Trigonométrie

Liens externes

• Première composition de mathématiques du CAPES externe 2004, proposant l'étude de deux définitions classiques de la fonction exponentielle : énoncé et corrigé
• Daniel Perrin, Une définition de la fonction exponentielle dans l'esprit des nouveaux programmes 2002
• Jean-Pierre Demailly, Puissances, exponentielles, logarithmes de l'école primaire jusqu'à la terminale, 2010