Espace séparable

En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dense et au plus dénombrable, c'est-à-dire contenant un ensemble fini ou dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier.

Lien avec les espaces à base dénombrable

• Tout espace à base dénombrable est séparable. La réciproque est fausse, mais :
• tout espace métrisable séparable est à base dénombrable.
  Il a donc au plus la puissance du continu. Sont de ce type la plupart des espaces usuels. L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle.
• Tout sous-espace d'un métrisable séparable est encore séparable (l'hypothèse de métrisabilité est indispensable : voir § « Propriétés » ci-dessous).
  Cela se déduit de ce qui précède, sachant que tout sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. Mais il est possible d'en donner une démonstration directe sans utiliser l'équivalence, pour un espace métrisable, entre la séparabilité et l'existence d'une base dénombrable.

Démonstrations

• Tout espace à base dénombrable est séparable : soit une base dénombrable d'ouverts, que l'on peut sans perte de généralité supposer non vides. En choisissant un point dans chacun, on obtient une partie dénombrable dense.
• Tout espace métrisable séparable est à base dénombrable : soit A une partie dénombrable dense, alors les boules B(a, 1/n) quand a parcourt A et n parcourt ℕ*, forment une base dénombrable d'ouverts.
• Tout sous-espace d'un métrisable séparable est encore séparable, preuve directe :
  Soit (X, d) un espace métrique séparable, et soit A un sous-espace de X. On va construire une suite dense dans A.
  Choisissons (x_n)_n∈ℕ* une suite dense dans X. Pour tout entier n > 0, fixons un point a_n de A vérifiant d(x_n, a_n) < d(x_n, A) + 1/n. Soit a un point de A et soit ε > 0. Par densité de (x_n)_n∈ℕ*, il existe un entier n > 3/ε tel que d(a, x_n) < ε/3. On a alors (par construction de la suite (a_n)) d(x_n, a_n) < ε/3 + 1/n < 2ε/3 donc (par inégalité triangulaire) d(a, a_n)< ε.
  La suite (a_n) est donc bien dense dans A.

Exemples

• L'ensemble ℝ des nombres réels, muni de sa topologie usuelle, est séparable car ℚ y est dense et dénombrable.
• Pour 1 ≤ p < ∞, l'espace L^p(ℝ) des fonctions dont la puissance p est intégrable, est séparable. Par contre, l'espace L^∞(ℝ) des fonctions essentiellement bornées ne l'est pas. On a la même dichotomie pour les espaces de suites ℓ^p et ℓ^∞.
• Il existe de « très gros » espaces compacts mais non séquentiellement compacts (donc non séquentiels) et néanmoins séparables ; c'est le cas de βℕ, le compactifié de Stone-Čech de ℕ, qui a même cardinal 2^ℭ que l'ensemble des parties de ℝ.
• La droite de Sorgenfrey est séparable et à bases dénombrables de voisinages mais n'est pas à base dénombrable.

Propriétés

• Un espace vectoriel topologique sur ℝ ou ℂ est séparable si et seulement s'il contient une famille dénombrable de vecteurs engendrant un sous-espace dense.
• Tout espace pseudométrique précompact ou de Lindelöf (en particulier tout espace métrique compact) est séparable. En effet, dans les deux cas, pour tout entier n > 0, on peut recouvrir l'espace par des boules ouvertes de rayon 1/n et de centre appartenant à un ensemble C_n au plus dénombrable. La réunion des C_n constitue alors une partie dénombrable dense.
• « Réciproquement », tout espace uniforme métrisable séparable est précompact, comme sous-espace du cube de Hilbert.
• Pour tout espace compact X, l'algèbre C(X) des fonctions continues de X dans ℝ munie de la norme de la convergence uniforme est séparable (ou, ce qui revient au même : à base dénombrable) si et seulement si X est métrisable. (Par exemple : ℓ^∞ = C(βℕ) n'est pas séparable.) On en déduit que toute image continue séparée Y d'un espace métrique compact X est métrisable, puisque C(Y) ⊂ C(X).
• Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-espace de C([0, 1]).
• Tout produit d'espaces séparables indexé par un ensemble ayant au plus la puissance du continu ℭ est séparable. (L'étape essentielle, pour le démontrer, est de vérifier que ℕ^ℝ est séparable ; on peut pour cela remarquer que les sommes finies d'indicatrices des intervalles d'extrémités rationnelles forment une partie dénombrable dense.) En particulier, ℝ^ℝ et (ℝ^ℝ)^ℝ sont séparables. Un produit de plus de ℭ espaces séparés (comportant chacun au moins deux points) n'est jamais séparable.
• Dans un espace séparable, tout ouvert est séparable mais pas toute partie en général : dans le plan de Sorgenfrey, l'antidiagonale est un fermé non séparable ; de même le plan de Moore, séparable, contient une droite fermée non séparable. Pire : tout espace topologique est sous-espace d'un séparable de même cardinal.
• La séparabilité est évidemment préservée par images continues (contrairement à la propriété d'être à base dénombrable, qui n'est même pas stable par quotients).
• Tout espace séparable possède la « condition de chaîne dénombrable », c'est-à-dire que toute famille d'ouverts non vides disjoints deux à deux est au plus dénombrable.
• Un espace métrique E est non séparable si et seulement s'il existe un réel a strictement positif ainsi qu'une famille non dénombrable de boules ouvertes de E, de rayon a, deux à deux disjointes,

Cardinalité

Un espace séparable et séparé a un cardinal inférieur ou égal à 2^ℭ, de sorte que ℝ^(ℝℝ) n'est pas séparable.

Articles connexes

• Espace polonais
• Espace universel d'Urysohn (en)
• Fonctions cardinales d'un espace topologique