Théorème de Stone-Weierstrass

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En mathématiques, le théorème de Stone-Weierstrass est une généralisation du théorème d'approximation de Weierstrass en analyse réelle, selon lequel toute fonction continue définie sur un segment peut être approchée uniformément par des fonctions polynomiales.

La généralisation par Marshall Stone étend ce résultat aux fonctions continues définies sur un espace compact[1] et à valeurs réelles, en remplaçant l'algèbre des fonctions polynomiales par une sous-algèbre ou un treillis vérifiant des hypothèses naturelles.

Théorème d'approximation de Weierstrass[modifier | modifier le code]

Supposons que f soit une fonction continue définie sur l'intervalle [a, b] à valeurs réelles. Pour tout ε > 0, il existe une fonction polynomiale p à coefficients réels telle que |f(x) – p(x)| < ε pour tout x dans [a, b].

Cette propriété peut également s'exprimer sous la forme suivante : si f est une fonction continue sur [a, b], il existe une suite (Pn) de polynômes convergeant uniformément vers f sur [a, b]. Ci-dessous, un exemple d'une suite de polynômes convergeant vers la fonction valeur absolue sur l'intervalle [–1, 1].

Suite de polynômes convergeant vers la valeur absolue

En se ramenant par changement de variables à l'intervalle [0, 1], Bernstein en a donné une démonstration constructive et probabiliste[2] en prouvant qu'on pouvait prendre :

P_n(x) = \sum_{k=0}^n f\left(\frac kn\right)B^n_k(x)

où les B^n_k(x) = {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k} sont les polynômes de Bernstein.

L'ensemble C([a, b]) des fonctions à valeurs réelles et continues sur [a, b], muni de la norme infinie \|f\|=\sup_{x\in [a,b]} |f(x)|, est une algèbre de Banach (i.e. une ℝ-algèbre associative et un espace de Banach telle que ║f g║ ≤ ║f║║g║ pour tout f et g). L'ensemble des fonctions polynomiales forme une sous-algèbre de C([a, b]) et le théorème d'approximation de Weierstrass affirme que cette sous-algèbre est dense dans C([a, b]).

Autres versions et généralisations[modifier | modifier le code]

Version trigonométrique[modifier | modifier le code]

Pour toute fonction f continue périodique, il existe une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f.

Issu de la théorie des séries de Fourier, le théorème de Fejér donne un exemple constructif d'une telle suite.

Loi des grands nombres[modifier | modifier le code]

Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres (n, x), alors Pn(x) est l'espérance de f(X/n), c'est-à-dire la moyenne de f appliquée au nombre de succès de n expériences indépendantes de probabilité x. La convergence simple de Pn(x) vers f(x) pour tout x est une conséquence de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre X/n et x, on en déduit la convergence uniforme de Pn vers f.

Version algébrique[modifier | modifier le code]

Le théorème d'approximation se généralise dans deux directions :

  • L'intervalle compact [a, b] peut être remplacé par un espace compact X.
  • L'algèbre des fonctions polynomiales peut être remplacée par une autre sous-algèbre A de C(X) à condition qu'elle vérifie une propriété cruciale qui est de séparer les points (en) (un sous-ensemble A de C(X) sépare les points si pour toute paire {x, y} de points de X, il existe une fonction p de A telle que p(x) ≠ p(y) ).

Dans ce cadre, le théorème s'écrit :

Théorème — Soient X un espace compact et C(X) l'algèbre de Banach des fonctions continues de X dans ℝ. Une sous-algèbre est dense dans C(X) si (et seulement si) elle sépare les points et contient, pour tout point x de X, une fonction qui ne s'annule pas en x.

Puisque les polynômes sur [a, b] forment une sous-algèbre unifère de C([a, b]) qui sépare les points, le théorème de Weierstrass est une conséquence du théorème ci-dessus.

Le corps des réels peut être remplacé par celui des complexes, à condition de supposer que A est stable par conjugaison.

Ce théorème se déduit du théorème de Stone-Weierstrass « version treillis » (ci-dessous) et des deux lemmes suivants.

Lemme 1 — Pour tout réel a > 0, il existe une suite de polynômes qui converge uniformément sur [–a, a] vers la fonction x ↦ |x|.

Lemme 2 — Toute sous-algèbre fermée de C(X) est un treillis.

Applications[modifier | modifier le code]

Le théorème de Stone-Weierstrass permet de démontrer les quatre propositions suivantes :

  • si f est une fonction continue à valeurs réelles définie sur le pavé [a, b] × [c, d] et si ε est réel strictement positif, alors il existe une fonction polynomiale p à deux variables telle que pour tous x dans [a, b] et y dans [c, d], |f(x,y) – p(x,y)| < ε.
  • si X et Y sont deux espaces compacts et si f : X×Y → ℝ est une fonction continue alors, pour tout ε > 0, il existe n > 0 et des fonctions continues f1, f2, … , fn sur X et g1, g2, … , gn sur Y telles que ║f – ∑figi║ < ε
  • Une mesure bornée sur [a, b] dont tous les moments sont nuls est nulle (cf. Problème des moments). Par exemple, si une fonction intégrable f de [0, 1] dans ℝ est telle que\forall p\in\N,~\int_0^1t^pf(t)~\mathrm dt=0,alors f est nulle presque partout (donc partout si elle est continue).
  • Si X est un espace métrique compact (donc séparable) alors l'algèbre de Banach C(X) est séparable[3]. Il suffit en effet de choisir dans X une partie Y dénombrable dense, de définir sur X, pour tout élément y de Y, une fonction fy par fy(x) = d(x, y), et de prendre pour A la sous-ℝ-algèbre unifère de C(X) engendrée par ces fy : puisque A est dense dans C(X) d'après le théorème, la sous-ℚ-algèbre unifère engendrée par ces mêmes fy (dénombrable et dense dans A) est dense dans C(X).

Certains résultats valables pour des fonctions continues peuvent être ramenés au cas de fonctions indéfiniment dérivables en utilisant le théorème de Stone-Weierstrass. C'est ainsi qu'on obtient une démonstration du théorème du point fixe de Brouwer en utilisant le théorème de Stokes.

Version treillis[modifier | modifier le code]

Soit X un espace compact. Un sous-ensemble L de C(X) est appelé un treillis de C(X) si pour deux éléments quelconques f, g de L, les fonctions max(f,g) et min(f,g) appartiennent aussi à L. La version treillis du théorème de Stone-Weierstrass affirme que :

Théorème — Si X est un espace compact avec au moins deux points et si L est un treillis de C(X) tel que, pour tous points distincts x et y de X et tous réels a et b, L contient une fonction f vérifiant f(x) = a et f(y) = b, alors L est dense dans C(X).

Cette version plus générale résulte immédiatement du lemme suivant.

Lemme 3 — Soit L un treillis de C(X). Pour qu'une fonction g de C(X) appartienne à l'adhérence de L, (il faut et) il suffit que pour tous x, yX et tout ε > 0, il existe une fonction fL telle que

 |f(x) - g(x)| < \varepsilon \text{ et } |f(y) - g(y)| < \varepsilon.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stone–Weierstrass theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. Un tel espace est par définition séparé.
  2. S. Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912.
  3. cf. (en) Charalambos D. Aliprantis (en) et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Springer,‎ 2007, 3e éd. (ISBN 978-3-540-32696-0, lire en ligne), p. 353, qui démontrent aussi la réciproque : pour tout compact X, si C(X) est séparable alors X est métrisable. En effet, la boule unité fermée du dual d'un espace de Banach E, munie de la topologie faible-*, est métrisable si (et seulement si) E est séparable, or pour E = C(X), X s'identifie naturellement à un sous-espace de cette boule.

Voir aussi[modifier | modifier le code]