Fonction cardinale

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En mathématiques, une fonction cardinale (ou un invariant cardinal) est une fonction à valeurs dans les nombres cardinaux.

Fonctions cardinales en théorie des ensembles[modifier | modifier le code]

  • La fonction cardinale la plus utilisée est celle qui à tout ensemble A associe sa cardinalité, notée |A|.
  • Les alephs et les beths peuvent être vues comme des fonctions cardinales définies sur les ordinaux.
  • Les opérations arithmétiques sur les cardinaux sont des exemples de fonctions des cardinaux (ou des couples de cardinaux) dans les cardinaux.
  • Les caractéristiques cardinales d'un idéal propre (en) I de parties de X (c'est-à-dire un ensemble non vide de parties propres de X, stable par sous-ensembles et par réunions finies) sont, en supposant que I recouvre X :
    • son additivité add(I), qui est le plus petit nombre d'éléments de I dont la réunion n'est pas élément de I :
      {\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subset I~\wedge~\cup{\mathcal A}\notin I\}.
      Ce cardinal est infini :
      {\rm add}(I)\ge\aleph_0.
      Il est même supérieur ou égal à 1 si I est stable non seulement par réunions finies mais par réunions dénombrables ;
    • son nombre de recouvrement cov(I), qui est le plus petit nombre d'éléments de I dont la réunion est X tout entier :
      {\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subset I~\wedge~\cup{\mathcal A}=X\}.
      Ce cardinal est supérieur ou égal au précédent :
      {\rm cov}(I)\ge{\rm add}(I)~;
    • son uniformité non(I) – parfois notée aussi unif(I) – qui est la plus petite taille d'une partie de X n'appartenant pas à I :
      {\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subset X~\wedge~A\notin I\big\}.
      Ce cardinal est, lui aussi, supérieur ou égal à l'additivité[1] :
      {\rm non}(I)\ge{\rm add}(I)~;
    • sa cofinalité cof(I), qui est la cofinalité (en) de l'ordre partiel (I, ⊂), c'est-à-dire le plus petit cardinal d'une partie cofinale de cet ordre :
      {\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subset I~\wedge~(\forall A\in I)(\exists B\in{\mathcal B})(A\subset B)\}.
      Elle majore les deux cardinaux précédents[1] :
      {\rm cof}(I)\ge{\rm non}(I)\text{ et }{\rm cof}(I)\ge{\rm cov}(I).
Dans le cas où I est un idéal lié à la structure des réels, comme l'idéal des parties Lebesgue-négligeables ou celui des parties maigres, ces invariants cardinaux font partie des caractéristiques cardinales du continu (en).
  • Pour un ensemble préordonné (E, ≤), la définition de la cofinalité se généralise en celle du La langue de cette portion d’article est : en dominating number  ⇔  nombre dominant 𝖉(E) :
    {\mathfrak d}(E)=\min\big\{|Y|:Y\subset E~\wedge~(\forall x\in E)(\exists y\in Y)(x\le y)\}
    et l'on définit aussi le La langue de cette portion d’article est : en bounding number  ⇔  nombre bornant 𝖇(E) :
    {\mathfrak b}(E)=\min\big\{|Y|:Y\subset E~\wedge~(\forall x\in E)(\exists y\in Y)(y\not\le x)\big\}.
  • En théorie des cofinalités possibles (en), on utilise la fonction cardinale ppκ(λ)[2].

Fonctions cardinales en topologie[modifier | modifier le code]

Les fonctions cardinales sont très utilisées en topologie générale, comme outils pour décrire diverses propriétés topologiques[3],[4],[5]. En voici quelques exemples[6].

  • Les deux invariants cardinaux les plus simples d'un espace topologique (X, T) sont sa cardinalité |X| et celle de sa topologie, o(X) = |T|.
  • Son poids w(X) est la plus petite cardinalité d'une base de T. L'espace est dit à base dénombrable lorsque w(X) ≤ 0.
  • Son caractère χ(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout point possède une base de voisinages de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit à bases dénombrables de voisinages lorsque χ(X) ≤ ℵ0.
    • Son π-poids πw(X) est le plus petit cardinal d'une π-base, c'est-à-dire d'une famille d'ouverts non vides telle que tout ouvert non vide de X contient un ouvert de cette famille.
  • Sa densité d(X) est la plus petite cardinalité d'une partie dense. L'espace est dit séparable lorsque d(X) ≤ ℵ0.
  • Son nombre de Lindelöf L(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout recouvrement ouvert de X possède un sous-recouvrement de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit de Lindelöf lorsque L(X) ≤ ℵ0.
  • Sa cellularité (ou son nombre de Suslin (en)[5]) c(X) est le plus petit cardinal κ tel que toute famille d'ouverts non vides deux à deux disjoints est de cardinal inférieur ou égal à κ.
  • Son étroitesse[7] (en anglais : tightness) t(X) est le plus petit cardinal κ tel que tout point adhérent à une partie A de X est adhérent à un sous-ensemble de A de cardinal inférieur ou égal à κ. L'espace est dit dénombrablement engendré, ou dénombrablement étroit, lorsque t(X) ≤ ℵ0.
    • Son étroitesse augmentée t+(X) est le plus petit cardinal régulier κ tel que tout point adhérent à une partie A de X est adhérent à un sous-ensemble de A de cardinal inférieur à κ.

Diverses inégalités relient ces fonctions. Par exemple[5] :

c(X) ≤ d(X) ≤ w(X) ≤ o(X) ≤ 2|X|,
χ(X) ≤ w(X) et L(X) ≤ w(X).
Si X est séparé, |X| ≤ 2c(X)χ(X) et |X| ≤ 2L(X)χ(X).

Beaucoup de fonctions cardinales d'un espace topologique correspondent par dualité aux fonctions cardinales de son algèbre de fonctions continues[5] ou d'une algèbre de Boole[7].

Fonctions cardinales d'une algèbre de Boole[modifier | modifier le code]

Les fonctions cardinales sont souvent utilisées dans l'étude des algèbres de Boole[8],[9].

On peut mentionner par exemple les fonctions suivantes d'une algèbre de Boole B :

  • sa cellularité c(B), qui est la borne supérieure des cardinaux d'antichaînes de B,
  • sa longueur length(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de ses chaînes,
  • sa profondeur depth(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de ses parties bien ordonnées,
  • son incomparabilité inc(B), qui est la borne supérieure des cardinaux de familles d'éléments deux à deux incomparables,
  • son pseudo-poids π(B), qui est le plus petit cardinal d'une famille d'éléments non nuls de l'algèbre de Boole B telle que tout élément non nul de B est minoré par un élément de cette famille.

Fonctions cardinales en algèbre[modifier | modifier le code]

Des exemples de fonctions cardinales que l'on considère en algèbre sont :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cardinal function » (voir la liste des auteurs)

  1. a et b (en) D. H. Fremlin, Measure Theory, vol. 4, Torres Fremlin,‎ 2000 (ISBN 978-0-95381294-3, lire en ligne), p. 18.
  2. (en) Michael Holz, Karsten Steffens et Edmund Weitz, Introduction to Cardinal Arithmetic, Birkhäuser,‎ 1999 (ISBN 9783764361242, lire en ligne).
  3. (en) István Juhász (hu), Cardinal functions in topology, Amsterdam, Math. Centre Tracts,‎ 1979, 160 p. (ISBN 978-9-0-6196-062-1, lire en ligne).
  4. (en) István Juhász, Cardinal Functions in Topology – Ten Years Later, Amsterdam, Math. Centre Tracts,‎ 1980, 160 p. (ISBN 978-9-0-6196-196-3, lire en ligne).
  5. a, b, c et d (en) A. V. Arkhangel'skii, « Cardinal characteristic », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  6. Certains auteurs, comme (en) Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann (de),‎ 1989 (ISBN 978-3-88538006-1), pour qui « il n'y a pas de cardinaux finis en topologie », préfèrent définir ces fonctions cardinales de telle façon qu'elles ne prennent que des valeurs infinies, ce qui revient à modifier les définitions données ici, par exemple en ajoutant 0 dans le membre de droite.
  7. a, b et c Résumé en français de (en) J. Donald Monk, « Cardinal Functions on Boolean Algebras », dans Maurice Pouzet et Denis Richard, Orders: Description and Roles,‎ 1984, p. 9-37.
  8. (en) J. Donald Monk, Cardinal functions on Boolean algebras, Birkhäuser, coll. « Lectures in Mathematics ETH Zürich »,‎ 1990 (ISBN 978-3-7643-2495-7).
  9. (en) J. Donald Monk, Cardinal invariants on Boolean algebras, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (no 142),‎ 1996 (ISBN 978-3-7643-5402-2, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]