Espace de Lindelöf

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En mathématiques, un espace de Lindelöf est un espace topologique dont tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement dénombrable. Cette condition est un affaiblissement de la quasi-compacité, dans laquelle on demande l'existence de sous-recouvrements finis. Un espace est dit héréditairement de Lindelöf si tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. Il suffit pour cela que ses ouverts le soient.

Les espaces de Lindelöf sont nommés d'après le mathématicien finlandais Ernst Leonard Lindelöf.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Espaces fortement de Lindelöf[modifier | modifier le code]

Si ω1 désigne le premier ordinal non dénombrable, l'ouvert [0, ω1[ du compact [0, ω1] n'est pas de Lindelöf.

Un espace est dit fortement de Lindelöf si tous ses ouverts sont de Lindelöf.

  • Tout espace fortement de Lindelöf est héréditairement de Lindelöf, c'est-à-dire que tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. (Il suffit, pour le vérifier, d'écrire que tout recouvrement ouvert d'une partie Y de X est de la forme (YOi) où les Oi sont des ouverts de X et que leur réunion O est alors un ouvert contenant Y et recouvert par les Oi.)
  • Tout espace à base dénombrable est fortement Lindelöf (puisque ses sous-espaces sont à base dénombrable).
  • Tout espace souslinien est fortement de Lindelöf.
  • La propriété d'être fortement de Lindelöf est préservée par réunions dénombrables, sous-espaces et images continues.
  • Toute mesure de Radon sur un espace fortement Lindelöf est modérée, c'est-à-dire que sa mesure extérieurement régulière associée est σ-finie.

Produit d'espaces de Lindelöf[modifier | modifier le code]

Un produit d'espaces de Lindelöf n'est pas toujours de Lindelöf. Le contre-exemple classique est le plan de Sorgenfrey S×S, produit de la droite de Sorgenfrey S par elle-même. Dans le plan S×S, l'antidiagonale D (la droite d'équation y = – x) est un sous-espace discret donc n'est pas de Lindelöf (puisque D n'est pas dénombrable). Or D est un fermé de S×S, qui n'est par conséquent pas de Lindelöf non plus.

Cependant, le produit d'un espace de Lindelöf par un espace quasi-compact est de Lindelöf[5].

Généralisation[modifier | modifier le code]

Un espace est dit κ-compact (ou κ-Lindelöf), pour un cardinal κ donné, si tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement de cardinalité strictement inférieure à κ. Les espaces quasi-compacts sont donc les 0-compacts et les espaces de Lindelöf sont les 1-compacts.

À tout espace X on associe son degré de Lindelöf, ou nombre de Lindelöf, noté L(X) et son degré héréditaire de Lindelof, noté hL(X)[6] :

L(X) est le plus petit cardinal infini κ tel que tout recouvrement ouvert de X possède un sous-recouvrement de cardinalité inférieure ou égale à κ et
hL(X) est la borne supérieure des L(Y) pour toutes les parties Y de X.

Avec cette notation, X est de Lindelöf si et seulement si L(X) = ℵ0, mais la donnée de L(X) ne suffit pas à distinguer si X est quasi-compact ou seulement de Lindelöf. C'est pourquoi, bien que moins couramment, certains auteurs donnent le nom de nombre de Lindelöf[7] de X (ou parfois degré de compacité[réf. nécessaire]) à une notion différente : le plus petit cardinal infini κ tel que X soit κ-compact.

Le cardinal d'un espace séparé X est borné[8] en fonction de son degré de Lindelöf L(X) et de son caractère χ(X)[6] : |X| ≤ 2L(X)χ(X). Par exemple, tout espace de Lindelöf séparé (en particulier tout espace compact) à bases dénombrables de voisinages a au plus la puissance du continu.

Il est aussi borné en fonction de son degré héréditaire de Lindelöf[6] : |X| ≤ 2hL(X).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Par exemple, tout ouvert de ℝ (muni de la topologie usuelle) est réunion dénombrable d'intervalles ouverts.
  2. (en) K. Morita, « Star-finite coverings and the star-finite property », Math. Jap., vol. 1,‎ 1948, p. 60-68
  3. Ce théorème est souvent cité sous la forme « tout espace de Lindelöf est normal » mais l'hypothèse de régularité, bien qu'implicite, est indispensable : cf. « When is a Lindelof Space Normal? » sur Dan Ma's Topology Blog ou (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover,‎ 1995 (ISBN 978-0-486-68735-3), par exemple Prime Integer Topology (resp. Relatively Prime Integer Topology), deux topologies sur ℕ*, séparées, de Lindelöf et non normales, moins fines que la restriction à ℕ* de la topologie des entiers uniformément espacés : on prend comme base d'ouverts les a ℕ* + b avec a et b premiers entre eux (resp. a premier).
  4. (en) M. G. Murdeshwar, General Topology, New Age International,‎ 1990, 2e éd. (ISBN 978-8-12240246-9, lire en ligne), p. 256, « Tychonoff's Lemma »
  5. Murdeshwar 1990, p. 255
  6. a, b et c (en) Chris Good, « The Lindelöf Property », dans K. P. Hart, J.-I. Nagata et J. E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier,‎ 2003, 1e éd. (ISBN 978-0-08053086-4, lire en ligne), p. 182-184
  7. (en) Mary Ellen Rudin, Lectures on Set Theoretic Topology, AMS, coll. « Conference Board of the Mathematical Sciences »,‎ 1975 (lire en ligne), p. 4
  8. Pour plus de détails, voir par exemple (en) Alessandro Fedeli, « On the cardinality of Hausdorff spaces », Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, vol. 39, no 3,‎ 1998, p. 581-585 (lire en ligne).

Articles connexes[modifier | modifier le code]