Cube de Hilbert

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En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit $K = \left[0,1\right]^{\mathbb N}$ muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.

Il est homéomorphe à $\left[0,1\right] \times \left[0,\frac12\right] \times \left[0,\frac13\right] \times \cdots$, ou à l'espace des suites $x = \left(x_n\right)_{n \in \mathbb N}$, telles que $\forall n, \; 0 \le x_n \le \frac{1}{n}$, muni de la distance :

$d\left(x,y\right) = \sqrt{\sum_{n=0}^{\infty} \left(x_n-y_n\right)^2}$.

Il est donc métrisable.

Il est à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes), et possède la propriété universelle suivante :

« Tout espace métrisable à base dénombrable est homéomorphe à un sous-espace de K. »

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.