Cube de Hilbert

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En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit K = \left[0,1\right]^\N muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.

Il est homéomorphe à \left[0,1\right] \times \left[0,\frac12\right] \times \left[0,\frac13\right] \times
\cdots, l'espace des suites x = \left(x_n\right)_{n\in\N} telles que \forall n, \; 0 \le x_n \le \frac1n, muni de la distance :

d\left(x,y\right) = \sqrt{\sum_{n=0}^{\infty} \left(x_n-y_n\right)^2}.

Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact) séparable[1] et possède la propriété suivante[2] :

Tout espace métrisable et séparable[3] est homéomorphe à un sous-espace de K.

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.

Notes et référence[modifier | modifier le code]

  1. et « même » – ce qui, pour un espace métrisable, est en fait équivalentà base dénombrable
  2. « Résultat dû à Urysohn » : François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay, 1985, p. 29
  3. On peut remplacer ces deux hypothèses par : régulier et à base dénombrable, puisque tout espace régulier à base dénombrable est métrisable.