Espace séparable

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 Ne pas confondre avec la structure d'espace séparé.

En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dense et au plus dénombrable, c'est-à-dire contenant un ensemble fini ou dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier.

Lien avec les espaces à base dénombrable[modifier | modifier le code]

Article détaillé : espace à base dénombrable.
  • Tout espace à base dénombrable est séparable. La réciproque est fausse, mais :
  • Tout espace pseudométrisable séparable est à base dénombrable[1].
    Beaucoup d'espaces usuels sont de ce type. L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle.
  • Tout sous-espace d'un espace pseudométrisable séparable est encore séparable (l'hypothèse de pseudométrisabilité est indispensable : voir § « Propriétés » ci-dessous).
    Cela se déduit de ce qui précède, sachant que tout sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. Mais il est possible d'en donner une démonstration directe sans utiliser l'équivalence, pour un espace pseudométrisable, entre la séparabilité et l'existence d'une base dénombrable.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Cardinalité[modifier | modifier le code]

Un espace séparé à bases dénombrables de voisinages (par exemple : un espace métrisable) et séparable a au plus la puissance du continu[8] : voir « Fonctions cardinales en topologie ». Plus généralement, le cardinal d'un espace séparé séquentiellement séparable, c'est-à-dire[9],[10] fermeture séquentielle d'une partie au plus dénombrable — en particulier, le cardinal d'un espace séparé de Fréchet-Urysohn séparable — est au plus ℭ[11]. On montre même facilement que tout espace séparé qui est fermeture séquentielle d'une partie de cardinal au plus ℭ est encore de cardinal au plus ℭ.

Un espace séparé et séparable a un cardinal inférieur ou égal à 2[12]. On retrouve ainsi (comme cas particulier de κ > ℭ vu plus haut) que si 2κ > 2 (et a fortiori si κ ≥ 2), un produit de κ espaces séparés comportant chacun au moins deux points n'est jamais séparable. La borne 2 est atteinte, par exemple par le compact séparable {0, 1}, qui n'est donc pas à bases dénombrables de voisinages (il n'est en fait même pas séquentiel, puisqu'il est dénombrablement compact mais pas séquentiellement compact).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Horst Herrlich (de), Axiom of Choice, Springer, (lire en ligne), p. 20.
  2. Voir Théorème de Banach-Mazur.
  3. Si κ est un cardinal infini, tout produit d'au plus 2κ espaces de densités majorées par κ est encore de densité majorée par κ. Voir par exemple François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse : Topologie, première partie, vol. 1, ENS Fontenay éd., (lire en ligne), p. 40 pour une démonstration, et (en) « Hewitt-Marczewski-Pondiczery theorem », sur PlanetMath pour les références des trois articles originels.
  4. On peut pour cela, par exemple, remarquer que les combinaisons linéaires finies, à coefficients entiers, d'indicatrices d'intervalles ouverts disjoints deux à deux et d'extrémités rationnelles, forment une partie dénombrable dense, ou encore — cf. (en) W. W. Comfort, « A short proof of Marczewski's separability theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 76,‎ , p. 1041-1042 (JSTOR 2317135) — utiliser la séparabilité de C([0,1]), qui entraîne celle de ℝ[0,1] = ℝ.
  5. (en) « Product of Separable Spaces », sur Dan Ma's Topology Blog.
  6. Une construction qui ajoute au plus une infinité dénombrable de points est donnée dans (en) Wacław Sierpiński, General Topology, University of Toronto Press, , p. 49.
  7. (en) « Topological Spaces with Caliber Omega 1 », sur Dan Ma's Topology Blog.
  8. (en) Kenneth Kunen (en) et Jerry E. Vaughan, Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier, (lire en ligne), p. 3.
  9. (en) Albert Wilansky, « How separable is a space? », Amer. Math. Monthly, vol. 79, no 7,‎ , p. 764-765 (JSTOR 2316270).
  10. (en) Franklin D. Tall, « How separable is a space? That depends on your set theory! », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 46,‎ , p. 310-314 (JSTOR 2039917).
  11. (en) Angelo Bella, Maddalena Bonanzinga et Mikhail Matveev, « Sequential + separable vs sequentially separable and another variation on selective separability », Cent. Eur. J. Math. (en), vol. 11, no 3,‎ , p. 530-538 (DOI 10.2478/s11533-012-0140-5).
  12. Guénard et Lelièvre 1985, p. 41.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « Why the name 'separable' space? », sur MathOverflow