Espace séparable

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la structure d'espace séparé.

En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dense et au plus dénombrable, c'est-à-dire contenant un ensemble fini ou dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier.

Lien avec les espaces à base dénombrable[modifier | modifier le code]

Article détaillé : espace à base dénombrable.
  • Tout espace à base dénombrable est séparable. La réciproque est fausse, mais :
  • tout espace métrisable séparable est à base dénombrable.
    Il a donc au plus la puissance du continu. Sont de ce type la plupart des espaces usuels. L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle.
  • Tout sous-espace d'un métrisable séparable est encore séparable (l'hypothèse de métrisabilité est indispensable : voir § « Propriétés » ci-dessous).
    Cela se déduit de ce qui précède, sachant que tout sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. Mais il est possible d'en donner une démonstration directe sans utiliser l'équivalence, pour un espace métrisable, entre la séparabilité et l'existence d'une base dénombrable.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Un espace vectoriel topologique sur ℝ ou ℂ est séparable si et seulement s'il contient une famille dénombrable de vecteurs engendrant un sous-espace dense.
  • Tout espace pseudométrique précompact ou de Lindelöf (en particulier tout espace métrique compact) est séparable. En effet, dans les deux cas, pour tout entier n > 0, on peut recouvrir l'espace par des boules ouvertes de rayon 1/n et de centre appartenant à un ensemble Cn au plus dénombrable. La réunion des Cn constitue alors une partie dénombrable dense.
  • « Réciproquement », tout espace uniforme métrisable séparable est précompact, comme sous-espace du cube de Hilbert.
  • Pour tout espace compact X, l'algèbre C(X) des fonctions continues de X dans ℝ munie de la norme de la convergence uniforme est séparable (ou, ce qui revient au même : à base dénombrable) si et seulement si X est métrisable. (Par exemple : = C(βℕ) n'est pas séparable.) On en déduit que toute image continue séparée Y d'un espace métrique compact X est métrisable, puisque C(Y) ⊂ C(X).
  • Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-espace de C([0, 1])[1].
  • Tout produit d'espaces séparables indexé par un ensemble ayant au plus la puissance du continu ℭ est séparable[2]. (L'étape essentielle, pour le démontrer, est de vérifier que ℕ est séparable ; on peut pour cela remarquer que les sommes finies d'indicatrices des intervalles d'extrémités rationnelles forment une partie dénombrable dense.) En particulier, ℝ et (ℝ) sont séparables. Un produit de plus de ℭ espaces séparés (comportant chacun au moins deux points) n'est jamais séparable[3].
  • Dans un espace séparable, tout ouvert est séparable mais pas toute partie en général : dans le plan de Sorgenfrey, l'antidiagonale est un fermé non séparable ; de même le plan de Moore, séparable, contient une droite fermée non séparable. Pire : tout espace topologique est sous-espace d'un séparable de même cardinal[4].
  • La séparabilité est évidemment préservée par images continues (contrairement à la propriété d'être à base dénombrable, qui n'est même pas stable par quotients).
  • Tout espace séparable possède la « condition de chaîne dénombrable », c'est-à-dire que toute famille d'ouverts non vides disjoints deux à deux est au plus dénombrable[5].
  • Un espace métrique E est non séparable si et seulement s'il existe un réel a strictement positif ainsi qu'une famille non dénombrable de boules ouvertes de E, de rayon a, deux à deux disjointes,

Cardinalité[modifier | modifier le code]

Un espace séparable et séparé a un cardinal inférieur ou égal à 2, de sorte que ℝ(ℝ) n'est pas séparable[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Résultat dû à Banach et Mazur, cf. (en) A. B. Kharazishvili, Applications of Point Set Theory in Real Analysis, Springer,‎ 1998 (ISBN 978-0-79234979-2, lire en ligne), p. 31, mais différent du théorème de Banach-Mazur, qui concerne les plongements, analogues mais linéaires, d'espaces de Banach séparables.
  2. C'est un cas particulier du théorème de Hewitt (en)-Marczewski-Pondiczery : (en) Hewitt-Marczewski-Pondiczery theorem de PlanetMath.
  3. (en) « Product of Separable Spaces », sur Dan Ma's Topology Blog
  4. Une construction qui ajoute au plus une infinité dénombrable de points est donnée dans (en) Wacław Sierpiński, General Topology, University of Toronto Press,‎ 1952, p. 49
  5. (en) « Topological Spaces with Caliber Omega 1 », sur Dan Ma's Topology Blog
  6. François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay éd., (1985) p.41

Articles connexes[modifier | modifier le code]