Discussion:Espace séparable

Espace à base dénombrable

Les espaces topologiques considérés sont séparés. Un espace séparable, même compact, peut avoir une puissance supérieure à celle du continu. Une catégorie plus restreinte et plus intéressante d'espaces, qui mérite un article, est celle d'espace à base dénombrable ; pour un espace métrisable, être séparable ou à base dénombrable sont équivalents, et un espace compact est métrisable si et seulement s'il est à base dénombrable. Enfin un espace à base dénombrable a au plus la puissance du continu. CD 15 jan 2005 à 00:44 (CET)

Article Espace à base dénombrable créé le 10/2/5 par CD (d · c · b). Anne (d) 22 janvier 2013 à 09:58 (CET)

démonstration

La démonstration des sous-espaces métrisables et séparables ne me parait pas convainquante :

- d'abord, il ne suffit pas de trouver un $a_{n,m}$ mais une infinité pour prouver l'adhérence.

- ensuite, pour assurer l'existence d'un $a_{n,m}$, j'ai plutôt l'impression qu'il faille m<1/ε i.e. 1/m>ε car ainsi on sait qu'au moins $a$ est une solution.

- enfin la formule finale ...<ε+1/m<ε serait plutôt ...<ε+1/m<2ε sous réserve de ce qui vient d'être dit.

Comme démonstration, je propose plutôt :

Pour tout 1/2>ε>0, il existe une infinité de n tel que d($x_{n}$,a)<ε. Soit m un entier non nul tel que m∈[1/2ε , 1/ε[ (existence assuré par ε<1/2 car alors 1/ε-1/2ε≥1). Donc ε<1/m≤2ε ce qui assure l'existence des $a_{n,m}$ pour tous les n considérés. Finalement $d(a,a_{n,m}$)<ε+1/m≤3ε

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par J2s2 (discuter), le 20 mars 2008.

Fait le 15/11/8 par PaxInTerris (d · c · b) (et simplifié le 27/12/9). Anne (d) 22 janvier 2013 à 09:58 (CET)

"tout espace métrisable séparable est précompact"

Cette assertion fait problème à double titre. D'abord la notion précompact n'étant pas topologique, ne peut s'appliquer à un espace (seulement) métriSABLE. Ensuite, si on remplace métrisable par métriQUE (peut-être que l'auteur de la phrase avait ça en tête) alors c'est faux. Exemple: L'espace métrique R avec sa distance usuelle (dérivée de la valeur absolue) est séparable, mais n'est pas précompact (comme il est complet, précompact => compact, ce qui est évidemment faux) ... Par ailleurs, l'argument d'être homéomorphe à un sous-espace du cube de Hilbert K (cf. Tout espace métrisable et séparable est homéomorphe à un sous-espace de K dans l'article sur ce cube) pourrait donner une autre idée de ce que l'auteur voulait exprimer. K étant compact, c'est un espace uniforme - avec une seule structure uniforme possible - qui est complet (cf. Bourbaki, Top. générale, chap. 2, §4. n"2, théorème 1) et notre sous-espace S est donc bien précompact: en effet, l'adhérence de S dans K s'identifie au complété de S et est compact. Qui a lu jusqu'ici sait qu'il doit y avoir un mais (R n'étant pas [pré]compact): c'est que la structure uniforme induite sur S par celle de K peut être distincte de celle obtenue en transportant celle de notre espace métrique séparable par notre homéomorphisme de celui-ci sur S. Une idée pour un énoncé correct serait de remplacer précompact par homéomorphe à un sous-espace d'un espace compact; mais dans l'énoncé que ça donne, séparable est inutile (métrisable => uniformisable => homéomorphe à sous-espace d'un espace compact). Je ne vois pas encore quelque chose de meilleur - sauf de simplement supprimer la phrase de notre article. Quelqu'un a-t-il une bonne idée? Je ferai une correction de l'article si je trouve moi-même (bien sûr, on peut dupliquer carrément la phrase de l'article sur le cube de H., mais à quoi bon?) --Ulysse (alias UKe-CH) (discuter) 6 mai 2020 à 21:16 (CEST)

Je suis d'accord avec toi sur toute la ligne. (C'est moi qui avais écrit ça — en 2013 — et) c'est irrécupérable donc je supprime tout de suite. Anne, 7/5, 8 h 10

Merci. Au fait, j'ai trouvé ça parce que dans le groupe de Facebook "Mathématiques avancées" où participent (comme dans plusieurs groupes FB de math.) surtout des Africains francophones (Afrique noire et Maghreb) quelqu'un a demandé ce qu'est un espace séparable. Suite à un de mes commentaires sur ça, un participant m'a demandé (grosso modo) à quoi un tel espace peut servir. Alors j'ai cherché de l'inspiration dans cet article de wikipédia. Dans ma réponse à une autre question du même fil de disc. j'ai dit que je ne sais pas encore pourquoi les espaces dit séparables sont appelés ainsi. C'est une question d'histoire des math., or cet article n'a pas de partie historique. As-tu par hasard une réponse? Il y a un risque de confusion possible entre espace séparé (nommé plutôt Hausdorff [adjectivé] par les math'eux anglo-saxons) et espace séparable (d'origine non francophone, me semble-t-il). Mais ça n'explique pas cette expression bizarre (que peut-on "séparer" comment dans un tel espace?)--Ulysse (alias UKe-CH) (discuter) 7 mai 2020 à 13:30 (CEST)

Je ne sais pas. Anne, 13 h 39

 UKe-CH : : Trouvé grâce à de:Separabler_Raum#Zur_Historie : d'après Willard, la notion de séparabilité est due à Frechet, dans sa thèse (p. 23).

Notre lien externe pose ta question mais n'y répond pas. Anne, 11/5, 0 h 50

Citer le théorème d'universalité d'Urysohn

Ce théorème améliore celui cité dans l'article : "Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-espace de C([0, 1]).", car C([0, 1]) n'est pas séparable.

P.S Urysohn, Sur un espace métrique universel, Bull. Sci. Math 51 (1927), pp 43-64 and 74-96 Jc7146 (discuter) 14 mars 2023 à 12:32 (CET)