Équivalence logique

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En logique classique, deux propositions P et Q sont dites logiquement équivalentes ou simplement équivalentes quand elles ont même valeur logique, il est possible de déduire Q à partir de P et de déduire P à partir de Q. En logique classique, cela revient à dire que P et Q ont même valeur de vérité : P et Q sont soit toutes les deux vraies, soient toutes les deux fausses.

La relation d'équivalence logique entre propositions est étroitement liée au connecteur d’équivalence, souvent noté ⇔ ou ↔, qui peut être défini (de façon très générale, aussi bien en logique classique que par exemple en logique intuitionniste) comme la conjonction de l'implication PQ et de sa réciproque QP, soit (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

L'affirmation que PQ revient à dire que P et Q sont équivalentes. Dit autrement (en logique classique) la proposition PQ prend la valeur « vraie » quand P et Q sont logiquement équivalentes, et seulement dans ce cas. En logique la relation d'équivalence est parfois notée ≡ (la notation ⇔ ou ↔ étant réservée au connecteur).

En électronique une fonction similaire appelé ET inclusif est symbolisé par le signe « ⊙ ».

L'équivalence dans la langue mathématique[modifier | modifier le code]

Dans les textes mathématiques, on exprime que deux propositions P et Q sont équivalentes par :

  • P si et seulement si Q (parfois abrégé en P ssi Q, (en) iff) ;
  • Pour que P, il faut et il suffit que Q ;
  • Une condition nécessaire et suffisante pour P est Q ;
  • P est une condition nécessaire et suffisante pour Q ;
  • P équivaut à Q.

Calcul propositionnel[modifier | modifier le code]

En logique classique, qui n'a que deux valeurs de vérité, la table de vérité du connecteur d'équivalence est :

P Q P ⇔ Q
Vrai Vrai Vrai
Vrai Faux Faux
Faux Vrai Faux
Faux Faux Vrai

La proposition PQ équivaut à

  • (PQ) ∧ (QP) ((P implique Q) et (Q implique P)) ;
  • (PQ) ∧ (¬P ⇒ ¬Q) ((P implique Q) et la contraposée de (Q implique P)) ;
  • ¬P ⇔ ¬Q (équivalence contraposée) ;
  • (PQ) ∨ (¬Q ∧ ¬P) ((P et Q) ou (non P et non Q)) ;

Propriétés[modifier | modifier le code]

La relation d'équivalence logique, notée ≡ ci-dessous, est une relation d'équivalence soit :

  • PP (la relation équivalence est réflexive)
  • Si PQ, alors QP (la relation d'équivalence est symétrique)
  • Si PQ et QR, alors PR (la relation d'équivalence est transitive)

Cette relation d'équivalence est compatible avec les connecteurs logiques. De plus en logique classique :

  • ¬¬P ≡ P.

Exemples

  • On a
\forall n\in \mathbb N, n\geq 2, \forall x\in\mathbb R - \{1\}, (x+1)^n=(x-1)^n\iff \frac{(x+1)^n}{(x-1)^n}=1
  • L’équivalence ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x2=y2) (en élevant au carré) est fausse parce que par exemple 22=(-2)2 n’implique pas 2=-2
  • L’équivalence suivante est vraie
\forall x\in [-1, +\infty\mathclose{[}, x-1\geq \sqrt{x+1} \iff ((x-1)^2\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0) (en élevant au carré)

En élevant au carré, on perd l’information que x-1 est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l’équivalence, on rajoute la propriété x-1≥0.


Pour démontrer, une équivalence PQ, on peut démontrer l’implication PQ et sa réciproque QP.

Équivalence entre plusieurs propositions[modifier | modifier le code]

Soient trois propositions P, Q et R.

Pour démontrer les 3 équivalences PQ, QR et PR, il suffit de démontrer 2 d'entre elles, ou encore il suffit de démontrer les 3 implications :

PQ, QR et RP.

Soient les implications PQ, QR et RP établies.

De QR et RP on déduit QP.

De RP et PQ on déduit RQ.

De PQ et QR on déduit PR

On peut généraliser à n propositions P1, P2, … , Pn : pour démontrer que ces propositions sont équivalentes il suffit de démontrer les implications

P1P2, P2P3Pn-1Pn et PnP1.


Voir aussi[modifier | modifier le code]

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