Équation de Kepler

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En astronomie, l'équation de Kepler est une formule liant l'excentricité e et l'anomalie excentrique E à l'anomalie moyenne M. L'importance de cette équation est qu'elle permet de passer des paramètres dynamiques du mouvement d'un astre (l'anomalie moyenne) aux paramètres géométriques (l'anomalie excentrique). Cette équation a été établie par Kepler dans le cas des orbites elliptiques, en analysant les relevés de position de la planète Mars effectués par Tycho Brahe[1]. Elle fut ensuite généralisée aux autres formes d'orbites (paraboliques, hyperboliques, quasi-paraboliques, rectilinéaires) à l'aide des principes de la mécanique newtonienne.

Présentations de l'équation de Kepler[modifier | modifier le code]

L'équation de Kepler en tant que telle est celle établie par Kepler pour les orbites elliptiques. Elle peut cependant être déclinée en plusieurs formes pour couvrir tous les cas d'orbites.

Cas de l'orbite elliptique[modifier | modifier le code]

L'équation de Kepler en orbite elliptique est :

E - e \cdot \sin{(E)} = M

avec l'anomalie moyenne M définie par :

M = n \cdot (t-t_0)

avec n le moyen mouvement : n = \frac {2 \cdot \pi} {T}

t le temps et t0 étant l'instant du passage au périastre. T est la période orbitale.

Le moyen mouvement peut être aussi exprimé par :

 n = \sqrt{\frac{G \cdot\ (m_1 + m_2)} {a^3}}

G la constante universelle de la gravitation

m1 et m2 les masses des deux corps

a le demi grand axe de l'ellipse  a = \frac{p} {1-e^2} ; p étant le paramètre de l'ellipse

L'équation de Kepler, associé au lien entre l'anomalie excentrique E et l'anomalie vraie v

\tan{(v/2)} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \tan{(E/2)}

permet de déterminer la position au cours du temps, d'un astre sur son orbite.

Cas de l'orbite hyperbolique[modifier | modifier le code]

En cas d'orbite hyperbolique (e>1), on peut démontrer analytiquement une relation équivalente à l'équation de Kepler :

e \cdot \sinh{(H)}- H = M

Sinh désigne le Sinus hyperbolique.

M est défini de la même manière que dans le cas elliptique, avec l'expression du moyen mouvement suivant :

 n = \sqrt{\frac{G \cdot\ (m_1 + m_2)} {(-a)^3}}

L'argument H n'est plus un angle comme c'est le cas de E dans le mouvement elliptique. H est dans ce cas liée à l'anomalie vraie v par :

\tan{(v/2)} = \sqrt{\frac{e+1}{e-1}} \cdot \tanh{(H/2)}

Cas de l'orbite parabolique[modifier | modifier le code]

L'équation de Kepler n'est pas définie dans le cadre du mouvement parabolique (e=1). Elle est remplacée par l'équation de Barker[2].

 M = s + \frac{s^3}{3} (cette équation peut être résolue de manière analytique par la méthode de Cardan)

avec

 ~s = \tan{(v/2)}
M = n \cdot (t-t_0) et
 n = 2 \cdot \sqrt{\frac{G \cdot\ (m_1 + m_2)} {p^3}}

Expression universelle de l'équation de Kepler[modifier | modifier le code]

Par un changement de variable, les équations de Kepler elliptiques, paraboliques et hyperboliques peuvent être regroupées en une seule équation "universelle"[3],[4]. Une des expressions possible est :

q.x + e . x^3 . c_3( \alpha x^2 ) = \sqrt{ G \cdot\ (m_1 + m_2) }(t-t_0)

avec le périastre q=a(1-e), et α=1/a. α est positif pour les orbites elliptiques, nul pour les orbites paraboliques et négatif pour ceux hyperboliques. La nouvelle variable x est définie par:

x= E \cdot \sqrt{a}

et la fonction c3(t) est une des fonction de Stumpff, qui s'écrit dans le cas général :

c_k (t)= \sum \limits_{n = 0}^{+\infty}  {\frac{( - 1)^n }{(2n+k)!} t^n}

La détermination de x d'après l'équation universelle permet de déterminer la position du corps sur son orbite (X,Y) par:

X=a(\cos{E}-e)=q + a \cdot \cos{\left( \frac {x}{\sqrt{a}}\right)}=q-x^2 . \sum \limits_{n = 0}^{+\infty}  {\frac{( - 1)^n }{(2n+2)!} {( \alpha x^2)}^n}=q-x^2.c_2( \alpha x^2)

et

Y=a \sqrt{1-e^2} \sin{E}= \sqrt{a(1-e^2)} \sqrt{a} \sin{\left( \frac {x}{\sqrt{a}}\right)}=x \cdot \sqrt{q(1+e)} \sum \limits_{n = 0}^{+\infty}  {\frac{( - 1)^n }{(2n+1)!} {( \alpha x^2)}^n}=x \cdot \sqrt{q(1+e)}.c_1( \alpha x^2)

Les fonctions c1(t) et c2(t) étant définies de la même manière que c3(t) plus haut.

Orbites rectilinéaires[modifier | modifier le code]

Les orbites rectilinéaires sont des cas limites des autres orbites, en faisant tendre la distance au périastre q vers zéro tout en conservant le demi grand axe a constant : l'orbite tend alors vers un segment ou une demi droite. Pour le cas des orbites elliptiques et hyperboliques, cela suppose de faire tendre l'excentricité e vers 1, car demi grand axe a, excentricité e et périastre q sont liés par q=a(1-e). Il existe donc trois types d'orbites rectilinéaires: elliptiques, paraboliques et hyperboliques. En pratique, une partie seulement de ces orbites est décrit par l'astre, aboutissant soit par une collision, soit par une évasion. Certaines comètes kamikazes détectés par les observatoires solaires spatiaux (SoHo, SDO...)ou des tronçons d'orbites de sondes interplanétaires sont proches des orbites rectilinéaires. Pour l'orbite rectilinéaire elliptique, l'équation de Kepler devient :

~E - \sin{(E)} = M

avec l'anomalie moyenne M définie par :

~M = n \cdot (t-t_0)

L'anomalie vraie n'ayant plus de signification pour une orbite rectilinéaire, la position de l'astre est définie par sa distance le séparant de l'astre principal r:

~r=a(1- \cos{(E)})

Pour l'orbite rectilinéaire hyperbolique, l'équation de Kepler devient :

 ~\sinh{(H)}- H = M

et la position de l'astre :

~r= a(1 - \cosh{(H)})

a étant négatif pour les orbites hyperboliques

Enfin, pour l'orbite rectilinéaire parabolique :

 M = \frac{s^3}{6}

avec

~M = n \cdot (t-t_0) et
 n = \sqrt{G \cdot\ (m_1 + m_2)}

et la position de l'astre :

 r = \frac{s^2}{2}

Résolution de l'équation de Kepler[modifier | modifier le code]

L'équation de Kepler

E - e \cdot \sin{(E)} = M

permet de calculer de manière directe la date (liée à M) correspondant à une position donnée (liée à E), par exemple déterminer la date des équinoxes. Par contre le problème inverse, déterminer la position d'une planète pour une date donnée, nécessite la détermination de E, connaissant M et e. Ce problème ne peut pas être résolu de manière simple.

Résoudre l'équation de Kepler, c'est trouver E(e,M) :

  • comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de M
  • comme série entière de e, si e < eo := 0.6627..., rayon de convergence de la série.
  • comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (d), pour un temps de calcul tc(d) optimisé.

Série de Fourier[modifier | modifier le code]

C'est Lagrange[5] qui trouve l'expression, bien que le nom Jn(x) soit associé au nom de Bessel.

  • E-M = fonction impaire périodique de M :

 E-M = e\cdot \sin E = 2 \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{J_n(ne)}{n} \sin(nM)

Jn(x) est la fonction de Bessel de 1re espèce d'ordre n.

Série entière de l'excentricité[modifier | modifier le code]

C'est encore Lagrange qui trouve la solution ; et Laplace donnera le rayon de convergence. Ces travaux inspireront Cauchy[6], qui fondera la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux ; celui-ci verra son aboutissement avec les travaux de Puiseux[7].

L'application du théorème d'inversion de série de Lagrange fournit :

 E-M = \sum_{n=1}^{+\infty} {e^n \over n!}\cdot a_n(M)

avec \ a_n(M) = {\mathrm d^{n-1}\over {\mathrm dM^{n-1}}} (\sin^n M).


  • Le rayon de convergence minimum de la série, qui dépend de M, est atteint pour M= π/2, et vaut : eo = 0.6627434193

tel qu'indiqué par Laplace (1823) et démontré par Cauchy et Puiseux :

  • e_o = 2 \frac{\sqrt{x(1-x)}}{1-2x} et x tel que \frac{1-x}{x} = \exp \left(\frac{2}{1-2x} \right).

Ceci rend cette formule inapplicable pour déterminer la position des comètes, dont l'excentricité est souvent voisine de 1.

Les premiers termes sont :

E-M= e\cdot\sin M + e^2\cdot \sin M \cdot \cos M  + e^3\cdot\left(\sin M \cdot \cos^2 M -{\sin^3 M \over 2}\right) + \dots

Note : il est possible d'obtenir ce développement en série en remplaçant dans la série de Fourier précédente les fonctions de Bessel par leur développement limité :

J_n(x)=(x/2)^n \sum_{p=0}^\infty {(-1)^p \over p! (n+p)!} (x/2)^{2p}

On obtient alors le développement limité beaucoup plus simplement que par la méthode de l'inversion de série :

E-M=
 \left(e- \frac{e^3}{8} + \frac{e^5}{192} + \cdots\right)\cdot\sin M +\left( \frac{e^2}{2} - \frac{e^4}{6} + \frac{e^6}{48} +\cdots\right)\cdot\sin 2M  + \left( \frac{3}{8} e^3 - \frac{27}{128} e^5+ \cdots\right)\cdot\sin 3M
 + \left( \frac{e^4}{3} - \frac{4}{15} e^6+ \cdots\right)\cdot\sin 4M + \left( \frac{125}{384} e^5 + \cdots\right)\cdot\sin 5M + \left( \frac{27}{80} e^6 + \cdots\right)\cdot\sin 6M

Il est à noter que bien que la série de Fourier converge pour 0<e<1, et que les développements des fonctions de Bessel aient un rayon de convergence infini, le résultat après réorganisation des termes ne converge que pour e<0.662...

Cas des comètes : e > eo[modifier | modifier le code]

Le premier à se confronter au problème est Horrocks, puis surtout Halley[8], pour les calculs sur sa comète d'excentricité e = 0,9673.


Plusieurs solutions ont été proposées en modifiant légèrement l'équation de Barker (e = 1). La solution proposée par Bessel (1805) couvre le domaine e > 0.997. Gauss[9] s'illustra en donnant une belle solution pour 0,2 < e < 0,95

Une généralisation de l'équation de Barker est un développement en série convergeant d'autant plus rapidement que l'excentricité e est proche de 1, ce qui s'avère bien adapté aux cas des comètes (cette série s'applique aussi aux orbites légèrement hyperboliques):

 n(t-t_0)=S+(1-2\cdot\gamma)\cdot \frac{S^3}{3} -\gamma \cdot (2-3\cdot \gamma)\cdot \frac{S^5}{5}+\gamma^2 \cdot (3-4\cdot \gamma)\cdot \frac{S^7}{7}-...=S+\sum_{p=1}^\infty (-\gamma)^{p-1} \cdot (p-(p+1)\cdot \gamma)\cdot \frac{S^{2p+1}}{2p+1}

rayon de convergence :  |\gamma | \cdot S^2 <1

avec  S= \tan(v/2)

 n = \frac{k}{2}\cdot \frac{\sqrt{1+e}}{q^{3/2}}
 \gamma=\frac{1-e}{1+e}

v étant l'anomalie vraie, k la constante gravitationnelle de Gauss, e et q étant respectivement l'excentricité et le périastre de l'orbite, t le temps et t0 étant l'instant du passage au périastre.

Lorsque e =1, la série se réduit à l'équation de Barker

Calcul numérique[modifier | modifier le code]

L'équation de Kepler peut être résolue à l'aide d'un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction. Les méthodes du type encadrement, méthode de dichotomie, méthode de la fausse position nécessitent un encadrement de départ dans lequel la racine est présente. Du fait de la périodicité et la parité de l'équation de Kepler, il est toujours possible de ramener l'intervalle de départ à [0; π]. Ceci fournit un encadrement de départ pour ces méthode, mais il est aisé d'en trouver de plus fins.

Les méthodes du type point fixe nécessitent une estimation de départ de la racine, le germe de la méthode E0, pour lancer les calculs : il en existe de multiples dans la littérature, dont la plus simple est E0=M.

La méthode de type point fixe la plus simple, celle utilisée par Kepler, est :

 E_0=M~
E_{n+1} = M + e \cdot \sin E_n \text{ pour } n=0,1\ldots

converge lentement lorsque e est proche de 1. Il est alors avantageux de lui adjoindre un algorithme d'accélération de la convergence :le Delta-2 de Aitken, par exemple, ou la variante de Steffensen.

L'équation de Kepler se prête particulièrement bien aux algorithmes nécessitant le calcul des dérivées successives élevées, du fait du faible coût en calcul machine nécessaire. En effet :

 f(E)= E - e \cdot \sin E-M
 f'(E)= 1 - e \cdot \cos E
 f''(E)= e \cdot \sin E
 f'''(E)= e \cdot \cos E
 \ldots

Les dérivées suivantes se déduisant cycliquement des précédentes. Les variantes de la méthode de Newton et de Halley d'ordres plus élevés sont donc très performantes dans ce cas. Il est à noter que ces méthodes peuvent dans certains cas avoir des difficultés à converger (e proche de 1 et M proche de 0). Il est préférable dans ces zones soit de proposer une valeur de départ moins grossière (germe de Mikkola (en) ou de Markley), soit de brider les méthodes itératives pour les forcer à converger (modification de Hamming de la méthode de Newton), ou d'utiliser des méthodes itératives à convergence moins locale (méthode de Laguerre).

  • Exemple :

Lors de son dernier passage en 1986, la comète de Halley a eu la visite de la sonde Giotto. Les données nécessaires pour déterminer la position de la comète lors de cette rencontre sont[10]:

date du passage au périhélie : t0= 9 février 1986 à 10:59:55 UTC

date de la rencontre : t= 14 mars 1986 à 00:03:00 UTC, soit t-t0= 32,54328 jours

excentricité de l'orbite : e=0,967 274 26

distance au périhélie : q=0,587 102 24, soit le demi grand axe a=q/(1-e)=17,940753 et le moyen mouvement n=k/a1.5=0,0002263836 rad/jour.

L'anomalie moyenne M=n.(t-t0)=0,007 367 388 7 rad

L'équation de Kepler à résoudre est :

E-0,967 274 26.sin(E)=0,007 367 388 7

En partant de E0=M et en utilisant la méthode de Newton,

Graphique représentant le nombre d’itérations (de noir=0 à blanc=255 ou plus) nécessaires à la méthode de Newton pour résoudre l'équation de Kepler avec une valeur initiale égale à M. Pour chaque couple e,M, la couleur du point indique le nombre d'itérations


 E_{n+1}= E_n- \frac{E_n - e \cdot \sin E_n-M}{1 - e \cdot \cos E_n}

on trouve successivement : 0,007 367 388 7

0,224 948 694 8

0,192 991 104 1

0,190 918 690 7

0,190 910 798 5

0,190 910 798 4

… (les valeurs suivantes étant identiques) On en déduit l'angle de position de la comète sur son orbite (l'anomalie vraie) v=1,277 177 232 7 rad =73,176 865 125°

La distance de la comète au soleil se calcule par r=a(1-e.cos(E))=0,902 374 257 UA (légèrement inférieure à la distance terre-soleil)

La vitesse de la comète =42,1219.(1/r-1/(2a))=43,7807879656 km/s

Les itérations ne se passent pas toujours aussi bien pour les comètes, comme l'expose le graphique ci contre Pour des excentricités au delà de 0.97,la convergence est incertaine avec comme point de départ des itérations E0=M.D'autres points de départ plus précis permettent d'éviter cet écueil.

Dans le cas des comètes, la résolution de la généralisation quasi-parabolique de l'équation de Barker pose deux problèmes :

  • le calcul approché de la série qui peut nécessiter un grand nombre de termes, voire être impossible si elle diverge. Il se trouve que cette série se prête particulièrement bien à l'utilisation d'algorithmes d'accélération de la convergence, notamment le Δ² de Aitken ou l'ε-algorithme de Peter Wynn, qui non seulement accélèrent la convergence, mais étendent son domaine de convergence. En pratique, les difficultés interviennent lorsque la comète est très loin de son périastre (elle est alors depuis longtemps invisible), ou son excentricité diffère notablement de 1 (dans ce cas, il est plus judicieux de résoudre l'équation de Kepler elliptique ou hyperbolique).
  • La résolution de l'équation proprement dite. Celle-ci peut être effectuée par les méthodes de type Newton avec :

 F(S)=-n(t-t_0)+S+\sum_{p=1}^\infty (-\gamma)^{p-1} \cdot (p-(p+1)\cdot \gamma)\cdot \frac{S^{2p+1}}{2p+1}

en remarquant que la dérivée s'exprime simplement :

 F'(S)=\frac{1+S^2}{{(1+\gamma \cdot S^2)}^{2}} , les dérivées suivantes s'en déduisent facilement.

On pourra choisir comme valeur initiale de l'itération S0, la solution de l'équation cubique obtenue en retenant les premiers termes (différant légèrement de l'équation de Barker), à l'aide de la méthode de Cardan

 n(t-t_0)=S_0+(1-2\cdot\gamma)\cdot \frac{{S_0}^3}3.

Recherches actuelles[modifier | modifier le code]

Les calculs via les intégrateurs symplectiques exigent de rester toujours en butée du nombre de décimales, dans le moindre coût de calcul.
Depuis 300 ans, on cherche la « meilleure » méthode. Elle reste à trouver !

Bien sûr, cela dépend beaucoup du doublet (M,e), M compris entre 0 et π et de e, surtout quand e est voisin de 1.

Nijenhuis (1991) adopte la méthode de Mikkola (1987) qui est la méthode de Newton d'ordre 4, en choisissant « adéquatement » le germe Eo en fonction du doublet (M,e).

Il est clair que dans les calculs numériques, le volume de calculs est essentiel, autant que le nombre de décimales, vu l'instabilité du système solaire évaluée à un coefficient de Liapunov de 10^(t/5Myr). On se heurte à une muraille exponentielle : difficile d'aller plus loin que 25 Myr, même avec un traitement 128 bits.

Ce sont ces calculs (astronomiques... mais informatisés) qui tournent sur les machines de l'IMCCE-Paris. Le calcul de l'ensoleillement terrestre à la latitude 65° Nord, I(65,t) est calculé et on essaie d'en déduire la corrélation avec le climat passé : l'échelle géologique jusqu'au Néogène (25 M ans) en est déduite (échelle géologique Gradstein 2004). Prochaine étape prévue : les 65 M ans.

Histoire des sciences[modifier | modifier le code]

Avant Kepler, l'équation était déjà étudiée pour d'autres motifs  :

c'est le problème de la réduction des coordonnées locales aux coordonnées géocentriques : il faut réduire la correction de parallaxe. Habash al Hasib s'y est déjà attaqué.

Avant 1700, il y a déjà beaucoup de tentatives : Kepler naturellement, Curtz (1626), Niele, Boulliau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665?), Wren (1658), Wallis (1659), Jeremiah Horrocks (1638)...

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (la) J. Kepler, Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex observationibus G. V. Tychonis Brahe, The Warnock Library, 1609
  2. (en) T. Barker (en), An account of dicoveries concerning comets, with the way to find their orbits, and some improvements in constructing and calculating their places, Londres, 1757
  3. (en) R. H. Battin, Astronomical Guidance, McGraw-Hill, NewYork, 1609, chap. 2
  4. (en) K. Stumpff (de), « On the application of spinors to the problems of celestial mechanics », dans NASA technical note D-4447, NewYork, 1968, chap. 2
  5. J.-L. Lagrange, « Sur le problème de Kepler », dans Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin, vol. 25, 1771, p. 204-233
  6. A. Cauchy, « Mémoire sur divers points d'analyse », dans Mémoires de l'Académie royale des sciences (Paris), vol. 8, 1829, p. 97-129.
  7. V. Puiseux, « Sur la convergence des séries qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique des planètes », dans Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 14, 1849, p. 33-39
  8. (en) E. Halley, « Astronomiae cometicae synopsis », dans Philosphical Transactions of the Royal Society, vol. 24, 1705, p. 1882-1899
  9. (la) C. F. Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conisis solem ambientium, Hamburg, Perthes & Besser, 1809, p. 35-44
  10. Minor Planet Circular 10634 (24 avril 1986)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]