Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker[1],[2] (ci-après FLRW) est une solution exacte de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein[3]. Elle décrit un univers homogène et isotrope, en expansion ou en contraction[3]. L'espace-temps dont la métrique décrit la géométrie est feuilleté par des espaces tridimensionnels (hypersurfaces à trois dimensions et de genre temps) de courbure constante[4]. Celle-ci est soit nulle, soit positive, soit négative[4]. En cosmologie, cette métrique est utilisée pour la description de l'évolution de l'Univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang[5].
Histoire
[modifier | modifier le code]Les éponymes de la métrique sont Alexandre Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker[2],[6],[7].
Friedmann obtient la métrique dès [8] pour le cas d'un univers fermé[9],[10] puis en pour celui d'un univers ouvert[9],[11]. Indépendamment de Friedmann[8], Lemaître obtient la métrique en [8] pour le cas d'un univers ouvert[9],[12]. Robertson obtient en la métrique pour le cas le plus simple d'un univers plat[9]. Robertson en puis Walker en [13] obtiennent la métrique générale[14]. Il en démontrent, en , l'unicité : elle est l'unique métrique pour un espace-temps homogène et isotrope[8].
Il a été noté[6] une tendance à se référer à la métrique sous le nom de métrique de Robertson-Walker[2],[15],[16],[N 1] (RW) et à réserver le nom de Friedmann-Lemaître aux équations qui en décrivent sa dynamique[6]. Mais, suivant les préférences géographiques ou historiques, la métrique FLRW, et son modèle cosmologique conséquent, peuvent être désignés selon d'autres combinaisons des noms d'une partie des quatre scientifiques[20]. On trouvera, par exemple : Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Friedmann-Lemaître (FL)…
Évolution de l'Univers selon la métrique FLRW
[modifier | modifier le code]La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'Univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'Univers).
Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies, est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique, réalisée grâce aux satellites COBE, WMAP, et plus récemment Planck.
Formulation mathématique
[modifier | modifier le code]La métrique FLRW est de forme[21],[22],[23],[24] :
- ,
où :
- sont les coordonnées d'espace-temps, avec :
- , la coordonnée de temps ;
- , les trois coordonnées d'espace ;
- est la vitesse de la lumière[2] dans le vide ;
- est la métrique induite[23],[24] sur les hypersurfaces à trois dimensions[23] de genre espace[23],[24].
En coordonnées sphériques [25], l'élément de longueur d'espace-temps , pour la métrique FLRW, se note :
en choisissant la signature de la métrique (en) où :
- est le facteur d'échelle. Le signe de renseigne sur l'évolution de l'Univers : pour un univers en expansion, pour un univers en contraction et pour un univers statique, le tout considéré au temps . Pour un temps tel que , l'Univers est fois plus grand que maintenant. Pour un temps tel que , l'Univers est fois plus petit que maintenant ;
- est le facteur de courbure[26] et peut valoir , ou . La valeur correspond à un espace à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique), la valeur correspond à un espace à courbure nulle (correspondant à l'espace euclidien de la relativité restreinte), et la valeur correspond à un espace à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique, ou doublement elliptique, ou à une géométrie elliptique, ou simplement elliptique) ;
- [25] est la métrique sur la sphère ;
- est homogène à une longueur[21] ;
- est le temps cosmique[26] ;
- est sans dimension[21] ;
En introduisant le changement de coordonnées : où permet de déterminer la distance comobile, l'élément de longueur se reformule :
- .
Métrique FLRW en fonction de la courbure spatiale
[modifier | modifier le code]Dans un espace plat
[modifier | modifier le code]Pour , la métrique FLRW se note :
L'espace est plat mais pas l'espace-temps. La métrique est différente de la métrique de Minkowski caractérisant la relativité restreinte.
Dans un espace de courbure positive
[modifier | modifier le code]Pour , la métrique FLRW s'écrit :
L'élément de longueur possédant une singularité en , on préfèrera utiliser son expression selon :
Dans un espace de courbure négative
[modifier | modifier le code]Pour , il vient finalement :
Notes et références
[modifier | modifier le code]Notes
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- Barrau et Grain 2016, § 7.1.2 (« Forme de la métrique »), p. 131.
- Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. Robertson-Walker (métrique de), p. 609, col. 1.
- Petrov et al. 2017, chap. 5, sec. 5.3, § 5.3.2, p. 233.
- Griffiths et Podolský 2009, chap. 6, sec. 6.1, p. 69.
- L. Bergström, A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics, page 61, 2de édition (2006), (ISBN 3-540-32924-2)
- Taillet 2023, introduction, p. 262.
- Daniel et Peter 2019, chap. 3, sec. 3.1, § 3.1.4, p. 159.
- Dimopoulos 2020, chap. 2, sec. 2.9, p. 33.
- Plebański et Krasiński 2006, partie II, chap. 17, sec. 17.1, p. 262.
- Friedmann 1922.
- Friedmann 1924.
- Lemaître 1927.
- Robertson 1935.
- Plebański et Krasiński 2006, partie II, chap. 17, sec. 17.1, p. 263.
- EDDA, s.v. Robertson-Walker metric.
- EU, s.v. Robertson-Walker (métrique de).
- Coles 1999, s.v. Robertson-Walker metric, p. 312.
- EB, s.v. Robertson-Walker metric.
- OR, s.v. Robertson-Walker metric.
- Allday 2019, chap. 12, notes, 6, p. 315.
- Binétruy 2006, appendices, D, D.2, p. 457.
- Rubakov et Gorbunov 2017, chap. 2, sec. 2.2, p. 38.
- Wallisch 2019, chap. 2, sec. 2.1, § 2.1.1, p. 10.
- Wands et Maartens 2015, § 4.1.1, p. 163.
- Pérez 2016, p. 269.
- Pérez 2016, p. 270.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- [Friedmann 1922] (de) A. Friedmann, « Über die Krümmung des Raumes » [« Sur la courbure de l'espace »], Z. Phys., vol. 10, no 1, , p. 377-386 (DOI 10.1007/BF01332580, Bibcode 1922ZPhy...10..377F).
- [Friedmann 1924] (de) A. Friedmann, « Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes » [« Sur la possibilité d'un univers à courbure négative constante »], Z. Phys., vol. 21, no 1, , p. 326-332 (DOI 10.1007/BF01328280, Bibcode 1924ZPhy...21..326F).
- [Lemaître 1927] G. Lemaître, « Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant, rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques », Annales de la Société scientifique de Bruxelles, , A47, p. 49-59 (Bibcode 1927ASSB...47...49L, lire en ligne).
- [Robertson 1935] (en) H. P. Robertson, « Kinematics and world-structure », Astrophys. J., vol. 82, no 4, , p. 284-301 (DOI 10.1086/143681, Bibcode 1935ApJ....82..284R, lire en ligne).
- [Robertson 1936a] (en) H. P. Robertson, « Kinematics and world-structure. II », Astrophys. J., vol. 83, no 3, , p. 187-201 (DOI 10.1086/143716, Bibcode 1936ApJ....83..187R, lire en ligne).
- [Robertson 1936b] (en) H. P. Robertson, « Kinematics and world-structure. III », Astrophys. J., vol. 83, no 4, , p. 257-271 (DOI 10.1086/143726, Bibcode 1936ApJ....83..257R, lire en ligne).
- [Walker 1937] (en) A. G. Walker, « On Milne's theory of world-structure », Proceedings of the London Mathematical Society, 2e série, vol. XLII, no 1, , p. 90-127 (DOI 10.1112/plms/s2-42.1.90, Bibcode 1937PLMS...42...90W).
- [Pérez 2016] J.-Ph. Pérez (avec la collab. d'É. Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Malakoff, Dunod, hors coll., (réimpr. 2017), 3e éd. (1re éd. ), 1 vol., XXIII-439, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7, EAN 9782100772957, OCLC 1031317463, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 10 (« Relativité générale »), V (« Cosmologie »), V.1, d) (« Métrique FLRW »), p. 269-271.
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- [Wallisch 2019] (en) Benjamin Wallisch, Cosmological probes of light relics, Cham, Springer, coll. « Springer theses », (réimpr. ), 1re éd., XVII-220 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-030-31097-4 et 978-3-030-31100-1, EAN 9783030310974, OCLC 1145940480, DOI 10.1007/978-3-030-31098-1, Bibcode 2019cplr.book.....W, arXiv 1810.02800, SUDOC 242695507, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Wands et Maartens 2015] (en) David Wands et Roy Maartens, « Introduction », dans Abhay Ashtekar, Beverly K. Berger, James Isenberg et Malcolm MacCallum (éd.), General relativity and gravitation : a centennial perspective, Cambridge, CUP, hors coll., , 1re éd., XXI-674 p., 18 × 25,4 cm (ISBN 978-1-10-703731-1 et 978-1-108-81024-1, EAN 9781107037311, OCLC 927527086, DOI 10.1017/CBO9781139583961, Bibcode 2015grg..book.....A, SUDOC 189302305, présentation en ligne, lire en ligne), Ire partie, chap. 4, sec. 4.1, p. 162-174.
Manuels d'enseignement supérieur
[modifier | modifier le code]- [Allday 2019] (en) Jonathan Allday, Space-time : an introduction to Einstein's theory of gravity [« Espace-temps : une introduction à la théorie de la gravitation d'Einstein »], Boca Raton, CRC Press, hors coll., (réimpr. ), 1re éd., XV-353 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-138-05668-8 et 978-0-367-77969-6, EAN 9781138056688, OCLC 1090284127, BNF 47084786, DOI 10.1201/9781315165141, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup / physique », (réimpr. ), 2e éd. (1re éd. ), VIII-231 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Binétruy 2006] (en) Pierre Binétruy, Supersymmetry : theory, experiment, and cosmology [« Supersymétrie : théorie, expérience, et cosmologie »], Oxford et New York, OUP, coll. « Oxford graduate texts », (réimpr. ), 1re éd., XII-520 p., 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-850954-7 et 978-0-19-965273-0, EAN 9780198509547, OCLC 493656519, BNF 40936938, Bibcode 2006stec.book.....B, HAL hal-00730333, SUDOC 111397626, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Daniel et Peter 2019] Jean-Yves Daniel et Patrick Peter, Cosmologie : la science de l'Univers, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, coll. « LMD / physique », , 1re éd., IV-284 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-2124-3, EAN 9782807321243, OCLC 1127536715, BNF 46522104, SUDOC 240590430, présentation en ligne, lire en ligne).
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- [Plebański et Krasiński 2006] (en) Jerzy Plebański et Andrzej Krasiński, An introduction to general relativity and cosmology [« Une introduction à la relativité générale et à la cosmologie »], Cambridge, CUP, hors coll., (réimpr. ), 1re éd., XIX-534 p., 18 × 25 cm (ISBN 978-0-521-85623-2 et 978-1-107-40736-7, EAN 9780521856232, OCLC 470624042, BNF 40201789, DOI 10.1017/CBO9780511617676, Bibcode 2006igrc.book.....P, SUDOC 108448983, présentation en ligne, lire en ligne).
Ouvrages fondamentaux
[modifier | modifier le code]- [Griffiths et Podolský 2009] (en) Jerry B. Griffiths et Jiří Podolský, Exact space-times in Einstein's general relativity [« Espaces-temps exacts en relativité générale d'Einstein »], Cambridge, CUP, coll. « Cambridge monographs on mathematical physics », (réimpr. ), 1re éd., XVIII-528 p., 17 × 24,4 cm (ISBN 978-0-521-88927-8 et 978-1-107-40618-6, EAN 9780521889278, OCLC 699650167, DOI 10.1017/CBO9780511635397, SUDOC 166282154, présentation en ligne, lire en ligne).
Dictionnaires et encyclopédies
[modifier | modifier le code]- [Coles 1999] (en) Peter Coles (éd.), New cosmology [« Nouvelle cosmologie »], New York, Routledge, coll. « Routledge critical dictionary series », , 1re éd., XIV-392 p., 15,9 × 23,5 cm (ISBN 0-415-92354-9, EAN 9780415923545, OCLC 40473720, SUDOC 049318888, présentation en ligne, lire en ligne), partie II, s.v. Robertson-Walker metric, p. 312-314.
- [Taillet, Villain et Febvre 2013] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Supérieur, hors coll., , 3e éd. (1re éd. ), X-899 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. Robertson-Walker (métrique de), p. 609, col. 1.
Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Alexandre Friedmann
- Big Bang
- Équations de Friedmann
- Georges Lemaître
- Modèle standard de la cosmologie
- Relativité générale
- Univers fini de Friedmann
Liens externes
[modifier | modifier le code]- [EB] (en) James Evans, « Robertson-Walker metric » [« métrique de Robertson-Walker »]
, astromnomy, Encyclopædia Britannica.
- [EDDA] (en) Robertson-Walker metric (métrique de Robertson-Walker) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
- [EU] Marc Lachièze-Rey, « Robertson-Walker (métrique de) », cosmologie, Encyclopædia Universalis.
- [OP] Michèle Gerbaldi, Gilles Theureau et Benoît Mosser, « La métrique de Robertson-Walker »
, Lumières sur l'Univers, Observatoire de Paris.
- [OR] (en) « Robertson-Walker metric » [« métrique de Robertson-Walker »], notice d'autorité no 20110810105739456
, Oxford Reference, OUP.