Métrique de Minkowski

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Le tenseur métrique de Minkowski, ou plus simplement la métrique de Minkowski, est une métrique définissant les propriétés de l'espace de Minkowski qui a un rôle fondamental dans le domaine des théories de la relativité. Cette métrique a la propriété d'être conservée par une transformation de Lorentz.

Définition[modifier | modifier le code]

En physique théorique, le formalisme quadridimensionnel utilisé pour l'étude de l'espace-temps utilise le vecteur de position espace-temps représenté par[1] :

  • où les sont les composantes contravariantes du tenseur (et sont les composantes covariantes).

Si on note les vecteurs de base, alors le vecteur de composantes contravariantes parallèles aux s'écrit, selon la convention d'Albert Einstein :

.

Le produit scalaire de deux quadrivecteurs et peut alors se noter :

  • est le tenseur métrique (ou la métrique).

Conventions de notation[modifier | modifier le code]

Pour deux événements séparés dans l'espace par , , et , et dans le temps par , on définit entre eux la quantité invariante de Lorentz par la forme différentielle[1] :

qui peut aussi s'écrire :

.

est obtenu avec , à partir des deux événements et .

Dans le premier cas, en prenant comme norme de vecteurs de base si et si , alors la métrique s'écrit[2] :

.

On dit que cette forme a la signature .

Dans le deuxième cas, les signes sont inversés et la métrique s'écrit, en utilisant les composantes covariantes notées en indice :

.

Cette forme a la signature .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient deux événements distincts dans l'espace-temps notés ainsi que . Le produit scalaire dans l'espace de Minkowski s'écrit :

où le produit scalaire des vecteurs de base s'écrit :

.

La forme quadratique est de genre temps lorsque , de genre lumière lorsque et de genre espace lorsque . Soit une transformation de Lorentz , l'intervalle d'espace-temps est invariant de Lorentz d'un référentiel galiléen à un autre, soit . Il est à noter que toute métrique, quelle qu'elle soit, peut être décrite par la métrique de Minkowski dans un système de coordonnées géodésiques locales.

Le tenseur métrique et son inverse coïncident[2] :

et

.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Luc Marleau, Introduction à la physique des particules, Université Laval, Québec, Canada, , 413 p. (lire en ligne).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Marleau 2017, p. 10.
  2. a et b Marleau 2017, p. 11.