Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

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La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (ci-après FLRW) permet de décrire un espace-temps de géométrie homogène et isotrope. En cosmologie, cette métrique est utilisée pour la description de l'évolution de l'univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang.

Suivant les préférences géographiques ou historiques, la métrique FLRW, et son modèle cosmologique conséquent, peuvent être désignés selon les noms d'une partie des quatre scientifiques : Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker. On trouvera par exemple : Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Robertson-Walker (RW), Friedmann-Lemaître (FL), ...

Évolution de l'univers selon la métrique FLRW[modifier | modifier le code]

La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'univers).

Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies, est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique, réalisée grâce aux satellites COBE, WMAP, et plus récemment Planck.

Formulation mathématique[modifier | modifier le code]

En coordonnées sphériques (r, \theta, \phi) \;, l'élément de longueur d'espace-temps  ds , pour la métrique FLRW, se note :

  {\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - k r^2} + r^2 {\rm d}\Omega^2 \right )

en choisissant la signature de la métrique (en)  (+ - - -) avec :

  • R(t) \; le rayon de courbure de l'univers. Le signe de  \dot{R}(t) renseigne sur l'évolution de l'univers :  \dot{R}(t) > 0 pour un univers en expansion,  \dot{R}(t) < 0 pour un univers en contraction et  \dot{R}(t) = 0 pour univers statique, le tout considéré au temps  t  ;
  • k \; la courbure de l'espace. k = \{-1,0,1\} pour un espace respectivement à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique), à courbure nulle (correspondant à l'espace euclidien de la relativité restreinte) et à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique) ;


En introduisant le changement de coordonnées : 
\begin{cases}
r = \sin (\chi/R_0)   & \textrm{si\ } k = 1 \\
r = \chi/R_0       & \textrm{si\ } k = 0\\
r = \sinh (\chi/R_0)  & \textrm{si\ } k = -1\\
\end{cases} \chi \; permet de déterminer la distance comobile, l'élément de longueur  ds se reformule :

  {\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left({\rm d}\chi^2 + S_k^2(\chi) {\rm d}\Omega^2 \right)

avec

  • a(t) = R(t)/R(t_0) \; le facteur d'échelle de l'univers à l'époque t.  t_0 est choisi comme le temps présent, de telle sorte que le facteur d'échelle est normalisé à l'instant présent : a(t_0) = 1.

Pour un temps  t_a tel que a(t_a) = N > 1 , l'univers est  N fois plus grand que maintenant. Pour un temps  t_b tel que a(t_b) = 1/N < 1 , l'univers est  N fois plus petit que maintenant ;

  • S_k(\chi) =R(t_0)
\begin{cases}
\sin (\chi/R(t_0))   & \textrm{si\ } k = 1 \\
\chi/R(t_0) & \textrm{si\ } k = 0 \\
\sinh (\chi/R(t_0))  & \textrm{si\ } k = -1 \\
\end{cases}\; .

Métrique FLRW en fonction de la courbure spatiale[modifier | modifier le code]

Dans un espace plat[modifier | modifier le code]

Pour k = 0 \;, la métrique FLRW se note :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left( {\rm d}r^2 + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right) \;

Nous retrouvons la métrique de Minkowski, caractérisant l'espace de Minkowski de la relativité restreinte.

Dans un espace de courbure positive[modifier | modifier le code]

Pour k = +1 \;\;, la métrique FLRW s'écrit :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 - r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right )

L'élément de longueur possédant une singularité en r=1, on préfèrera utiliser son expression selon \chi :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left( {\rm d} \chi^2 + R(t_0)^2\sin^2 \left (\chi/R(t_0)\right ) \; {\rm d} \Omega^2 \right) \;

Dans un espace de courbure négative[modifier | modifier le code]

Pour k = -1 \;, il vient finalement :

{\rm d}s^2 = c^2 {\rm d}t^2 - R(t)^2 \left (\frac{{\rm d}r^2}{1 + r^2} + r^2 {\rm d} \Omega^2 \right) = c^2 {\rm d}t^2 - a(t)^2 \left( {\rm d} \chi^2 + R(t_0)^2\sinh^2 \left(\chi/R(t_0)\right) \; {\rm d} \Omega^2 \right) \;

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]