Dilatation du temps

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Le terme dilatation du temps désigne un effet de la relativité restreinte selon lequel l'intervalle de temps entre deux événements mesuré dans un référentiel inertiel quelconque est toujours supérieur à l'intervalle de temps mesuré dans le référentiel inertiel où ces deux événements ont la même position spatiale (mais n'ont pas lieu au même moment, bien sûr)[1]. Étant donné que le temps est défini, dans la théorie de la relativité, par la donnée initiale d'une horloge pour chaque référentiel[2],[3],[4], on peut en déduire que pour un observateur, une horloge en mouvement semble ralentie par rapport à une horloge immobile[5]. Bien sûr, cet effet intervient sur tout mesureur du temps[6].

Un diagramme de Minkowski, en deux dimensions, permet une représentation de ce phénomène dans l'espace de Minkowski et peut aider à une compréhension qualitative et intuitive.

Ce phénomène de ralentissement des horloges s'étend, en relativité générale, aux horloges proches d'un corps massif, qui vont ralentir par rapport à celles qui en sont plus éloignées.

Dessin de gauche : pour l'observateur immobile par rapport aux miroirs A et B, le départ et le retour de la lumière se font au même endroit, et la lumière parcourt la distance 2*L à la vitesse c.
Dessin de droite : ce même observateur voit passer à vitesse v une installation identique, il voit que la distance parcourue par la lumière entre le départ et le retour (qui n'ont pas lieu au même endroit) est 2*D et est supérieure à 2*L, mais la vitesse de la lumière est toujours c, même si la source lumineuse est en mouvement (postulat de la relativité restreinte). Pour lui, cet aller-retour dans l'installation en mouvement prend plus de temps que dans l'installation immobile.
Conclusion : le même phénomène prend plus de temps, donc parait plus lent, quand il est vu en mouvement.


En relativité restreinte[modifier | modifier le code]

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons deux événements, par exemple l'émission de deux éclairs, émis par un appareil transporté par une fusée, et séparés par l'intervalle de temps Δτ  mesuré dans cette fusée (c'est l'intervalle de temps propre les séparant car ces éclairs sont émis au même endroit pour la fusée). Chaque éclair est émis alors que la fusée passe devant un observateur terrestre différent lisant l'heure sur sa montre, et ces deux observateurs constatent que leurs lectures diffèrent du temps Δt . Comme la fusée se déplace à la vitesse v par rapport à la Terre, la distance entre ces deux observateurs terrestres concernés est de v Δt. Les deux mêmes événements « éclairs » étant séparés par l'intervalle d'espace-temps (Δx =vΔt, Δt ) dans le repère terrestre et (0, Δτ ) dans le repère de la fusée, la relativité restreinte affirme que le carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements est le même dans les deux repères et que de ce fait l'égalité suivante est respectée :

On en déduit:

ce que l'on peut aussi obtenir par les transformations de Lorentz.

Ainsi, le temps propre mesuré dans la fusée est  : le temps s'écoule plus lentement dans la fusée d'après les observateurs terrestres.

Cet effet est négligeable pour de faibles vitesses et c'est la raison pour laquelle la correction n'intervient pas dans la vie courante et que le phénomène n'est pas perceptible d'ordinaire. En revanche, dès qu'un objet atteint une vitesse de l'ordre du 1/10e de celle de la lumière, ou lorsque la précision demandée est importante, comme dans le cas d'un GPS, cet effet relativiste est notable et peut même devenir colossal, croissant sans limites, si v se rapproche tout près de la valeur c.

Vérifications expérimentales[modifier | modifier le code]

  • Une vérification expérimentale a été menée en 1960 par les physiciens Robert Pound et Glen Rebka en accélérant des atomes par augmentation de la chaleur (les atomes restent sur place car ce sont les atomes d'un cristal radioactif vibrant autour de leur position d'équilibre par agitation thermique), ce qui a donné une diminution de la fréquence des rayons gamma émis (ce qui signifie un ralentissement du temps propre des atomes par rapport à celui des atomes non accélérés), les mesures étant en accord avec les prévisions avec 10 % de marge d'erreur[7].
  • On a observé que les particules instables se désintègrent plus lentement du point de vue de l'observateur lorsqu'elles se meuvent à grande vitesse par rapport à celui-ci, notamment dans les accélérateurs de particules.
  • Cet effet est également observé pour les muons atmosphériques produits par la collision des rayons cosmiques (particules très énergétiques en provenance de l'espace cosmique) et les molécules de l'atmosphère. Ces muons, animés d'une vitesse proche de celle de la lumière, atteignent le sol où ils sont observés et ce malgré leur courte durée de vie propre, la dilatation du temps leur donnant le temps nécessaire pour atteindre les détecteurs.
  • Un autre cas observé de dilatation temporelle est le décalage entre horloges atomiques au sol et en vol ; mais il se complique dans ce dernier cas de considérations gravitationnelles de sorte que le cadre de la relativité restreinte est insuffisant et qu'on doit considérer les effets de Relativité générale. Incidemment l'expérience réelle d'horloges atomiques embarquées en avion est une version réalisable, et souvent réalisée, de l'expérience des jumeaux, laquelle exploite l'effet de ralentissement des horloges en mouvement.
  • Signalons également que l'on observe aussi une dilatation du temps lorsqu'on mesure la durée de l'évolution de la luminosité des supernovas lointaines, mais que ce dernier effet est dû à l'expansion de l'Univers.

Paradoxe apparent de la symétrie[modifier | modifier le code]

Le paradoxe des jumeaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Paradoxe des jumeaux.

Supposons qu'un observateur no 1 voie, depuis son référentiel inertiel muni d'une horloge (dite no 1) qui y est immobile, une horloge (dite no 2) en mouvement à vitesse constante comme fonctionnant au ralenti. Alors, par symétrie, un observateur no 2 immobile par rapport à l'horloge no 2 voit l'horloge no 1 comme étant en mouvement à vitesse constante par rapport à son référentiel (dit no 2) et donc comme fonctionnant au ralenti. Ainsi chacun voit l'horloge de l'autre comme fonctionnant au ralenti et voit également l'autre voyageur comme ayant subi une compression dans le sens de son déplacement. La contradiction est flagrante car si on imagine qu'ils se croisent deux fois : la première fois ils initialisent leurs deux horloges à 0, mais, la seconde fois, quelle horloge sera en retard par rapport à l'autre ?

L'explication la plus courante est que la contradiction n'est qu'apparente car pour qu'il y ait deux rencontres, une des deux horloges a dû changer de référentiel inertiel : la relativité restreinte s'y applique différemment et les calculs montrent que c'est cette horloge qui, à la seconde rencontre, retarde sur l'autre[7].

Interprétation du phénomène quand deux mobiles se croisent[modifier | modifier le code]

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Cette explication évite cependant d'aborder le fond du problème[réf. nécessaire] car il est tout à fait possible de rendre le problème réellement symétrique en remplaçant les deux voyageurs par deux trains[8] (voir aussi Paradoxe du train) dont les passagers ont synchronisé leurs montres entre eux (sur chaque train). Pour commencer, il faut noter qu'en l'absence de tout référentiel extérieur le problème est parfaitement symétrique (les passagers de chaque train se voient comme immobile et voient l'autre train comme en mouvement, De plus, chaque train étant à l'arrêt dans son propre référentiel, il est possible que ses passagers synchronisent leurs montres car la lumière prend exactement le même temps pour faire le trajet dans un sens que dans l'autre. Ce ne serait pas le cas dans un référentiel dans lequel le train est en mouvement, et encore moins si le train subissait une accélération.

Des événements vus comme simultanés par les passagers d'un train, ne le seront pas pour ceux d'un autre train qui le croise. (Cette illustration a été réalisée au moyen d'un simulateur qui calcule la transformation de Lorentz).

Examinons maintenant le diagramme d'espace-temps de Minkowsky ci à droite : Ce diagramme est une représentation graphique de la transformation de Lorentz[9]. Nous y représentons l'espace-temps d'un mobile en mouvement constant par rapport à un référentiel choisi comme immobile. Dans ce diagramme, l'axe horizontal représente la distance dans la direction du déplacement observé pour l'observateur immobile (les directions orthogonales à celle-ci ne sont pas impactées par la transformation), l'axe vertical représente l'écoulement du temps, et les deux axes à 45° représentent la vitesse de la lumière (le cône de lumière). On remarquera que pour que la vitesse de la lumière soit représentée par des droites à 45°, nous avons du choisir des unités adéquates[10] (la seconde pour le temps, la seconde-lumière pour l'espace, et pour la facilité, les vitesses sont représentées en fractions de la vitesse de la lumière qui vaut 1). Avec ce choix d'unités, la transformation de Lorentz devient parfaitement symétrique en t et en x:

Dans le diagramme de Minkowsky, un objet en mouvement est dessiné par une flèche inclinée puisqu'au fur et à mesure que le temps avance, la position de celui-ci change. Cependant, une conséquence de la symétrie entre l'espace et le temps de la transformation de Lorentz, réside dans le fait que l'axe spatial du mobile dans lequel les événements sont pour lui simultanés, ne reste pas horizontal, mais penche également de façon symétrique avec le cône d'espace temps, de sorte qu'avec ce choix d'unités, la vitesse de la lumière sera toujours une bissectrice de l'angle formé par l'espace et le temps, quel que soit le référentiel[11]. De plus, l'autre conséquence de la transformation est l'étirement du temps propre du mobile (la flèche bleue t₀-t₁) qui suit une trajectoire hyperbolique (en jaune)[12] et s'allonge au fur et à mesure que la vitesse augmente - pour conserver la symétrie, l'unité d'espace du mobile (la barre bleue t₀-t₀ sans flèche) s'allonge également de la même façon.

Alors, en réalité, l'explication de ce paradoxe apparent est un petit peu compliquée et contre intuitive. Sa cause première réside dans le fait que ce qui est simultané pour un train ne l'est pas pour l'autre, et vice-versa[13]. Si on examine attentivement ce qui se passe sur le diagramme de Minkowsky, on se rend compte que l'horloge bleue à bord noir qui va être observée successivement par les observateurs des deux horloges rouges (qui sont synchronisée dans leur référentiel) aux temps t₀ et t₁ du train rouge, aura effectivement avancé de moins d'une seconde. mais par contre, l'observateur rouge qui voit passer les deux horloges bleues, va lui observer que la seconde horloge bleue, arrive à la fin de la seconde avant lui - et donc de façon réciproque, le deuxième observateur bleu, va également percevoir que cette horloge rouge va plus lentement que la sienne. Ceci est la simple conséquence de ce que de qui est simultané dans un train ne l'est pas pour l'autre.

On observe également le même phénomène pour la compression spatiale : En suivant l'axe de simultanéité (l'axe spatial) du train rouge, l'arrière du train bleu a avancé "plus vite" que son avant et celui-ci semble plus court alors qu'en en suivant l'axe de simultanéité du train bleu, au contraire, c'est son avant qui est dans le futur par rapport à son arrière dans le référentiel du train rouge, comme donc, son avant a avancé plus que son arrière, du coup, là, il est plus long que le train rouge.

En mouvement accéléré[modifier | modifier le code]

Contrairement à une idée répandue, la relativité restreinte ne s'arrête pas aux mouvements rectilignes uniformes mais est également capable de traiter des mouvement accélérés[14]. Ce qui fait la différence entre la relativité restreinte et la relativité générale, c'est qu'en relativité générale, on étend le concept de relativité au fait qu'il est impossible de distinguer masse inerte et masse pesante et donc, on ne peut pas non plus distinguer ponctuellement une accélération d'une attraction gravitationnelle. Pour cela, il devient nécessaire de sortir de la géométrie euclidienne ou plutôt minkovskienne qui décrivent des espaces sans courbure intrinsèque, pour passer à la géométrie différentielle avec les variétés de Lorentz. Ceci n'est cependant pas nécessaire pour examiner un mouvement accéléré indépendant de tout contexte gravitationnel.

Pour comprendre les conséquences du mouvement accéléré sur la dilatation du temps, supposons une fusée qui contiendrait deux horloges, à l'avant et à l'arrière, qui chacune enverraient un signal lumineux toutes les secondes[15],[16].

Dans un référentiel inertiel, chaque signal lumineux envoyé de l'avant vers l'arrière va aller à la rencontre de l'arrière de la fusée qui avance de plus en plus rapidement vers lui, alors que dans l'autre sens, les signaux lumineux venant de l'arrière vont eux, au contraire, devoir rattraper l'avant de la fusée qui lui, s'éloigne toujours plus vite de leur point d'émission

Par conséquent les signaux allant de l'avant vers l'arrière vont donc à chaque fois parcourir une distance un peu plus courte pour atteindre leur cible, de sorte que, toujours dans le même référentiel inertiel, ils vont arriver à l'arrière à une cadence plus rapide que celle à laquelle ils ont été émis. alors qu'au contraire, les signaux allant de l'arrière vers l'avant vont arriver à une cadence plus lente que leur cadence d'émission.

Pour les observateurs situés à l'avant et à l'arrière de la fusée, par contre, la lumière continue à se déplacer à la même vitesse indépendamment de leur propre mouvement, ce qui conduit à ce que pour eux c'est le temps qui ne s'écoule pas à la même vitesse entre l'avant et l'arrière de la fusée (notons au passage que cet exemple n'est pas tout à fait exact, car il ne prend pas en compte dans le référentiel inertiel, les déformations du temps et de l'espace subies par la fusée qui va de plus en plus vite).

En relativité générale[modifier | modifier le code]

Description du phénomène[modifier | modifier le code]

En relativité générale, un objet massif courbe l'espace-temps en le dilatant, dilatant ainsi le temps par rapport à un temps mesuré à distance de la déformation de l'espace-temps : si deux horloges sont identiques et que l'une a fait un séjour dans un champ de gravitation, alors elle retarde par rapport à l'autre. Cet effet se calcule grâce à la différence de potentiel gravitationnel entre deux points : le temps est dilaté là où le potentiel gravitationnel est le plus bas[17],[18] (en effet, par convention, le potentiel gravitationnel porte un signe négatif[19], et il peut être soit proche de 0, soit "profond"[18]). On mesure le temps dilaté en "minutes BNo", unité inventé par le physicien Robert Pound pour simplifier les calculs entre deux référentiels inertiels[réf. nécessaire].

Explication qualitative[modifier | modifier le code]

L'utilisation du principe d'équivalence entre accélération et gravitation sur l'exemple vu plus haut, de la fusée en accélération constante permet de prédire l'existence d'un même effet de dilatation temporelle entre le haut en le bas d'une tour jouant le rôle de l'avant et l'arrière de la fusée ou entre un satellite en orbite et le sol, comme c'est le cas pour le système GPS.

Contrairement à une croyance répandue [réf. souhaitée], la distortion du temps entre deux points situés à des potentiels gravitationnels différents n'est pas directement liée aux variations de cette gravitation, mais est un effet cumulatif (dans le langage rigoureux de la théorie, il s'agit d'intégrer une forme différentielle)[20] lié à la pénétration vers le centre du champ gravitationnel, ce qui, par exemple, sur Terre, en fait essentiellement un corrélat de l'altitude (la variation de la gravitation due à cette altitude ajoutant une correction négligeable). Cet effet peut ainsi être présent entre deux points où la gravité est nulle, comme le montre l'exemple du centre de la terre[21],[17].

Métrique de Schwarzschild[modifier | modifier le code]

On sait que la métrique est . Dans le cas d'une masse à symétrie sphérique, on peut utiliser la métrique de Schwarzschild[22]

avec le rayon de Schwarzschild de la masse sphérique, strictement inférieur au rayon .

On en déduit . Ainsi est l'élément infinitésimal de temps propre du corps, et est celui du temps mesuré dans le référentiel de l'observateur, par hypothèse non soumis à la gravitation (sinon les formules sont différentes).

On peut dire que par la gravitation le temps propre est ralenti par rapport au temps du référentiel (qui est par hypothèse mesuré hors d'influence de la masse), ou que le temps impropre est dilaté par rapport au temps propre du corps influencé par la gravitation.

Cas d'un trou noir[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'un trou noir, ici réduit à ses caractéristiques liées à la métrique, une horloge peut s'approcher du rayon de Schwarzschild du corps massif. En la supposant quasi-immobile dans le référentiel, elle marque son temps propre , et le temps observé très loin du trou noir (à l'infini, pour faire court) est . Ce qui signifie qu'au fur et à mesure que l'horloge s'approche du rayon de Schwarzschild, le temps de l'horloge parait mettre un temps infini pour s'écouler aux yeux de l'observateur, et semble même s'arrêter à ses yeux, mais l'horloge ne s'arrête pas pour elle-même (comme la métrique de Lemaître ou celle de Kruskal et Szekeres le montrent).

Effets théoriques sur la Terre[modifier | modifier le code]

"Une horloge servant à chronométrer une rotation complète de la terre mesurera environ 10 ns / jour de plus par jour pour chaque kilomètre d'altitude au-dessus du géoïde de référence." (traduit de l'anglais) [23] L'âge de la Terre se comptant en milliards d'années, l'effet est non négligeable : le calcul (effectué en 2016, en utilisant l'approximation newtonienne[24]) montre que le centre de la Terre est plus jeune de plus de deux ans que la surface[17]. En effet bien que la force de gravité y soit nulle[25], le centre de la Terre possède un potentiel gravitationnel une fois et demi plus important en valeur absolue[17] (Φ(0)= -3GM/2R soit environ -94 MJ/kg) par rapport à celui en surface[17] (Φ(R)= -GM/R soit environ[26] -63 MJ/kg).

Résultats expérimentaux[modifier | modifier le code]

En 1977, une expérience embarquant des horloges atomiques dans une fusée a confirmé les prévisions théoriques avec une précision de 0,01 %[27]. En 1959, Robert Pound et Glen Rebka ont pu vérifier expérimentalement que la différence d'altitude de 22,6 mètres d'une tour de l'université Harvard donnait une différence de fréquence de la lumière conforme aux prévisions de la relativité générale (expérience de Pound-Rebka mettant en évidence le décalage d'Einstein)[27],[28]. En 2009, une équipe de physiciens a mesuré avec une précision 10 000 fois supérieure à la précédente expérience (Gravity Probe A (en)) cette dilatation du temps sans déceler de différence avec les prédictions de la relativité générale[29],[30].

Dans la fiction[modifier | modifier le code]

Dans le film Interstellar de Christopher Nolan, sorti en novembre 2014, est utilisé ce phénomène de dilatation du temps. L’astronaute Cooper voyage sur une exoplanète en orbite proche d'un trou noir supermassif (Gargantua). La force gravitationnelle du trou noir est si forte que le temps sur cette exoplanète s'écoule plus lentement avec un ratio de 1 heure pour 7 années terrestres[31].

Autres œuvres de fiction dans lesquelles la dilatation du temps joue un rôle important :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. David Langlois, Introduction à la relativité : Principes fondamentaux et conséquences physiques, VUIBERT (13 juillet 2011), , 192 p., pp 16 à 19
  2. Premier paragraphe du §1 de Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions] : Pour pouvoir décrire les phénomènes naturels il est nécessaire de définir un "système de référence" ou "référentiel". On entend par système de référence un système de coordonnées permettant d'indiquer les positions spatiales des particules auquel est liée une horloge marquant le temps.
  3. Chapitre 2, §2.1.2, page 18 de Relativité et gravitation, par Philippe Tourrenc (Armand Colin éditeur, 1992, (ISBN 2 200 21209 7)) il est indiqué que pour construire un système de coordonnées, nous mettons tout d'abord en place un certain nombre de « règles matérielles », dont une horloge en chaque point de l'espace, qu'il faut « synchroniser », plus loin qu'il faut utiliser des horloges « idéales » et que tout cela est complexe, tant du point de vue pratique que conceptuel.
  4. Chapitre 2, page 10 du cours de relativité restreinte de Pierre Billoir : il faut préciser une méthode opérationnelle pour établir un repérage de l'espace et du temps, dont des horloges indéréglables, qu'on synchronise.
  5. « Le temps propre d'un objet mobile est toujours inférieur à l'intervalle de temps correspondant dans un système fixe; on peut dire qu'une horloge mobile marche plus lentement qu'une horloge fixe » dans le §3 de Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions].
  6. p. 6 du cours de relativité générale par Bernard Linet, il est indiqué, avant tout postulat sur l'espace et le temps, qu'un observateur possède une horloge (et une règle graduée, le tout pour explorer son environnement) et que c'est un fait d'expérience que tous les phénomènes périodiques, classiques ou quantiques, donnent le même temps t.
  7. a et b D'après James H. Smith, Introduction à la relativité, chez Masson édition de 1997, page 101 (chapitre "le paradoxe des jumeaux")
  8. « LE PARADOXE DES DEUX TRAINS », sur clea-astro.eu (consulté le 5 décembre 2018)
  9. (en) « Special Relativity properties from Minkowski diagrams », sur arxiv.org (consulté le 5 décembre 2018)
  10. « Interactive Minkowski diagram », sur www.trell.org (consulté le 5 décembre 2018)
  11. « Enseigner la relativité restreinte en CPGE: une approche graphique », sur relativite.obspm.fr (consulté le 5 décembre 2018)
  12. (en) « Minkowski Diagram », sur Owlcation (consulté le 5 décembre 2018)
  13. « THEORIE DE LA RELATIVITE RESTREINTE : QUESTIONS DIVERSES SUR LA SIMULTANEITE », sur Comité de Liaison Enseignants et Astronomes
  14. (en) Charles W. Misner, Kip S. Thorne et John Archibald Wheeler, Gravitation, (ISBN 0716703343, 9780716703341 et 0716703440, OCLC 585119, lire en ligne), p. Chap 6, pp.163 et suivantes
  15. (en) Richard P. Feynman, Robert B. Leighton et Matthew L. Sands, The Feynman lectures on physics - New millenium edition. Volume II, Mainly electromagnetism and matter (ISBN 9780465079988, 0465079989 et 9780465072972, OCLC 861525314, lire en ligne), p. Chap. 42: Curved Space
  16. Analyse de Richard Feynman, Leçons sur la Physique page 315
  17. a b c d et e (en) U I Uggerhøj, R E Mikkelsen et J Faye, « The young centre of the Earth », European Journal of Physics, vol. 37, no 3,‎ , p. 035602 (DOI 10.1088/0143-0807/37/3/035602, lire en ligne)
  18. a et b (en) Proceedings of the International Conference on Two Cosmological Models, Plaza y Valdes (ISBN 9786074025309, lire en ligne), page 26
  19. (en) Comprehensive Physics XI, Laxmi Publications (ISBN 9788170087335, lire en ligne), page 876
  20. Relativité Générale: La gravitation en une leçon et demie, conférence X-UNS-EPS de Marios Petropoulos, 2017
  21. Le noyau de la Terre vieillit moins vite que nous, sur Futura-sciences.
  22. (en) Charles Misner, Kip Thorne et John Archibald Wheeler, Gravitation, Freeman, , 1278 p. (ISBN 0-7167-0334-3), p. 820
  23. « Measurement of gravitational time dilation: An undergraduate research project », American Journal of Physics,
  24. L'approximation newtonienne est légitime dans tous les cas où la gravitation est faible et les vitesses petites par rapport à celle de la lumière. Voir Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions] §81 et §82.
  25. voir premier théorème de Newton
  26. (en) « Gravitational Potential | S-cool, the revision website », sur www.s-cool.co.uk (consulté le 3 mai 2018)
  27. a et b Jean-Claude Boudenot, chapitre VI p. 145 à p. 147 de Électromagnétisme et gravitation relativiste, édité chez ellipse en 1989, (ISBN 2-7298-8936-1).
  28. (en) R. V. Pound, « Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance », Physical Review Letters, vol. 3, no 9,‎ 1e november 1959, p. 439–441 (DOI 10.1103/PhysRevLett.3.439, lire en ligne)
  29. Laurent Sacco, Retard des horloges : un test donne – encore – raison à Einstein sur Futura-sciences
  30. (en) Holger Müller, « A precision measurement of the gravitational redshift by the interference of matter waves », Nature, vol. 463,‎ , , 926-929 (DOI 10.1038/nature08776, lire en ligne)
  31. « Décryptez la physique des trous noirs du film Interstellar », (consulté le 13 novembre 2014)

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]