Espace anti de Sitter

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En mathématiques et en physique, l'espace anti de Sitter n-dimensionnel, noté , est l'analogue lorentzien de l'espace hyperbolique n-dimensionnel. Il est pourvu d'une symétrie maximale et est une variété lorentzienne à courbure scalaire négative constante.

Dans le langage de la relativité générale, l'espace anti de Sitter est une solution de vide (en) à l'équation de champ d'Einstein avec une constante cosmologique négative.

L'espace anti de Sitter est l'analogue à courbure négative de l'espace de Sitter, nommé ainsi en l'honneur de Willem de Sitter. Il est utilisé dans la correspondance AdS/CFT.

Définitions et propriétés[modifier | modifier le code]

L'espace anti de Sitter peut être défini comme une sous-variété de de codimension 1. Prenons l'espace avec la métrique standard :

.

L'espace anti de Sitter est la sous-variété décrite par l'hyperboloïde

est une sorte de constante non nulle avec des dimensions de longueur. La métrique sur l'espace anti de Sitter est la métrique induite par la métrique ambiante. On peut vérifier que la métrique induite n'est pas dégénérée et a la signature lorentzienne.

L'espace de Sitter n-dimensionnel a comme groupe d'isométries. Il n'est pas simplement connexe ; il est homéomorphe au produit , donc son groupe fondamental est le groupe des nombres entiers, et il a un revêtement universel contractile. L'espace-temps anti de Sitter a des temps fermés comme des boucles, contrairement à son revêtement universel qui n'en a pas. Certains auteurs utilisent l'espace anti de Sitter pour se référer au revêtement universel simplement connexe.

L'espace anti de Sitter comme espace homogène et symétrique[modifier | modifier le code]

De la même manière que la sphère , l'espace anti de Sitter peut être vu comme le quotient de deux groupes orthogonaux indéfinis (en). Cette formulation comme quotient donne à une structure d'espace homogène. L'algèbre de Lie de est donnée par les matrices

,

est une matrice diagonale symétrique. Un supplémentaire dans l'algèbre de Lie de est

Ces deux espaces vérifient . Un calcul matriciel explicite montre ensuite que . Donc, l'espace anti de Sitter est un espace homogène et un espace symétrique non riemannien.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Univers anti de Sitter


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Anti-de Sitter space » (voir la liste des auteurs).